Enunciado

Um planeta leva 300 dias (terrestres) para completar uma órbita circular em torno do seu sol, que tem uma massa de 6,0 × 10 30   k g . Quais são (a) o raio da órbita e (b) a velocidade orbital do planeta?

Passo 1

(a) Vamos lembrar da fórmula que relaciona o período orbital com o raio da órbita, que é dada pela Lei de Kepler:

T 2 = 4 π 2 G M r 3

Já conhecemos G e M , só precisamos escrever T em segundos para poder calcular r :

T = 300   d i a s

T = 300   d i a s × 24 h o r a s d i a × 3600 s e g h o r a = 2,592.10 7   s

Agora é só isolar r e substituir os outros valores numéricos:

r 3 = G M 4 π 2 T 2

r 3 = 6,67.10 - 11 6,0.10 30 4 π 2 2,592.10 7 2

r ≅ 1,9   .   10 11   m

Passo 2

(b) Para calcular a velocidade orbital do planeta, vamos considerar que a sua órbita é circular, de forma que a distância percorrida em cada revolução é:

Δ s = 2 π r

E o tempo de revolução é o período que acabamos de calcular:

Δ t = T

Então:

v = Δ s Δ t = 2 π r T

v = 2 π 1,9.10 11 ( 2,592.10 7 ) = 4,6   .   10 4   m / s

Resposta

(a) O raio da órbita é r = 1,9   .   10 11   m .

(b) A velocidade orbital é v = 4,6   .   10 4   m / s .

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