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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 81

Planetas não são uniformes por dentro. Normalmente eles são mais densos no nucelo e sua densidade vai descrevendo de dentro para fora té a superfície. Modele um planeta esfericamente simétrico, de mesmo raio que a Terra, tendo uma densidade que diminui linearmente com a distancia a partir do centro. Suponha que a densidade seja 15,0 × 10 3   k g / m 3 no núcleo de 2,0 × 10 3 k g / m 3 na superfície. Qual é a aceleração da gravidade na superfície desse planeta?

Passo 1

Bom galera, aqui integre d m = ρ   d V para encontrar a massa do planeta. Fora do planeta, o planeta se comporta como um ponto massa, então na superfície g = G M / R 2 .

Uma concha esférica fina com espessura d r tem volume d V = 4 π r 2 d r . A terra tem raio

R T = 6,38 × 10 6   m .

Passo 2

Para obter M :

M = ∫ d m = ∫ ρ d V = ∫ ρ 4 π r 2   d r .

A densidade é ρ = ρ 0 - b r , onde ρ 0 = 15.0 × 10 3 k g / m 3 no centro e na superfície, ρ S = 2.0 × 10 3 k g / m 3 , então

b = ρ 0 - ρ S R .

Passo 3

M = ∫ 0 R ρ 0 - b r 4 π r 2 d r = 4 π 3 ρ 0 R 3 - π b R 4 = 4 3 π R 3 ρ 0 - π R 4 ρ 0   - ρ S R = π R 3 1 3 ρ 0 + ρ S

E

M = 5.71 × 10 24 k g .

Passo 4

Então,

g = G M R 2 = G π R 3 1 3 ρ 0 + ρ S R 2 = π R G 1 3 ρ 0 + ρ S .

g = π 6.38 × 10 6 m 6.67 × 10 - 11 N ⋅ m 2 k g 2 15.0 × 10 3 k g m 3 3 + 2.0 × 10 3 k g m 3

g = 9,36 m / s 2

Resposta

g = 9,36 m / s 2

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