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Enunciado

Física - Fundamentos de Física - Mecânica Volume 1 - 8ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 8º - Capítulo 10.10 - Ex. 57b

Uma polia, com um momento de inércia de 1,0 × 10 - 3   kg · m ² em relação ao eixo e um raio de 10 cm, é submetida a uma força aplicada tangencialmente à borda. O módulo da força varia no tempo de acordo com a equação F → = 0,50t + 0,30t2, com F → em newtons e t em segundos. A polia está inicialmente em repouso. Qual é (a) a aceleração angular e (b) a velocidade angular da polia no instante t = 3,0 s?

Passo 1

Belezera pessoal, como a força é aplicada tangencialmente a uma distancia r = 0,10   m do eixo, a aceleração angular é dada como:

α = τ I

Onde I é o momento de inércia, enquanto que τ é torque expresso como τ = r → × F → , logo:

α = r → × F → I

Substituindo os valores, vamos obter que:

α = 0,10 × 0,5 t + 0,3 t 2 1,0 × 1 0 - 3

α = 50 t + 30 t 2 rad/ s 2

Passo 2

A malandragem disso tudo, é que a aceleração angular é a derivada da velocidade angular:

d ω d t = α

Logo, abusando da notação, teremos que:

d ω = α   d t

Integrando dos dois lados em relação a d t , obtemos que:

ω = ∫ α   d t

Como vimos no Passo 1 que α = 50 t + 30 t 2 rad/ s 2 , e estamos dentro de um intervalo de t = 3   s , então:

ω = ∫ 0 3 α   d t = ∫ 0 3 50 t + 30 t 2 d t

Integrando:

ω = ∫ 0 3 50 t   d t + ∫ 0 3 30 t 2 d t

ω = ( 25 t 2 + 10 t 3 ) 0 3

Tal que:

ω = 25 3 2 + 10 3 3 - 0 + 0

ω = 5 × 1 0 2   rad/ s

Resposta

ω = 5 × 1 0 2   rad/ s

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