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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 14.1 - Ex. 73

Os pontos P 1 e P 2 de um corpo plano distam h 1 e h 2 , respectivamente, do centro de massa. O corpo oscila com o memso período T ao girar livremente em torno de um eixo que passa por P 1 e ao girar livremente em torno de um eixo que passa por P 2 . Estes dois eixos são perpendiculares ao plano do corpo. Mostre que h 1 + h 2 = g T / 4 π 2 , com h 1 ≠ h 2 .

Passo 1

Vamos lembrar da fórmula para o período de um pêndulo físico:

T = 2 π   I m g D

Quando aplicamos essa equação para calcular o período em torno de P 1 , ela vai ficar assim:

T 1 = 2 π I c m + m h 1 2 m g h 1

Onde usamos o teorema dos eixos paralelos para calcular o novo momento de inércia, agora em relação a um eixo que está a uma distância h 1 do centro de massa.

Fazendo a mesma coisa para o período em torno de P 2 :

T 2 = 2 π I c m + m h 2 2 m g h 2

Passo 2

Segundo o enunciado, o período é igual nos dois casos, então:

T 1 = T 2

2 π I c m + m h 1 2 m g h 1 = 2 π I c m + m h 2 2 m g h 2

Vamos dividir os dois lados por 2 π / m g   :

I c m + m h 1 2 h 1 = I c m + m h 2 2 h 2

Agora elevamos os dois lados ao quadrado:

I c m + m h 1 2 h 1 = I c m + m h 2 2 h 2

Vamos simplificar essa expressão para encontrar I c m :

I c m h 1 + m h 1 = I c m h 2 + m h 2

I c m = m h 2 - h 1   1 h 1 - 1 h 2 = m ( h 2 - h 1 ) h 2 - h 1 h 2 h 1

I c m = m h 2 h 1

Passo 3

Precisamos usar esse resultado para encontrar h 1 + h 2 , então vamos voltar à expressão para o período T 1 (como T 1 = T 2 , vamos chamar os dois pelo mesmo nome T ):

T = 2 π I c m + m h 1 2 m g h 1

Elevando tudo ao quadrado e isolando I c m :

m g h 1 T 2 4 π 2 - m h 1 2 = I c m

Agora substituímos a expressão para I c m :

m g h 1 T 2 4 π 2 - m h 1 2 = m h 2 h 1

Dividindo tudo por h 1 :

m g T 2 4 π 2 - m h 1 = m h 2

Agora é só dividir tudo por m e isolar h 1 + h 2 :

h 1 + h 2 = g T 2 4 π 2

Que é exatamente o que queríamos demonstrar.

Resposta

A soma é h 1 + h 2 = g T 2 4 π 2   .

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