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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 95

95. Uma barra uniforme de comprimento L oscila com ângulos pequenos em torno de um ponto situado a uma distância x do seu centro de massa. a ) Prove que a frequência angular é g x / [ L 2 / 12 + x 2 ] . b ) Prove que sua frequência angular máxima ocorre quando x = L / 12 . c ) Qual é o comprimento da barra quando a frequência angular máxima é igual a 2 π   r a d / s ?

Passo 1

Nessa situação, temos um pêndulo físico, para mostrar que a frequência dele é dada da forma mostrada no enunciado, vamos usar a fórmula padrão de da frequência angular de um pêndulo físico, que é:

ω = m g d I

O valor de d já temos que é x , temos que achar o momento de inércia I , para isso usaremos o teorema do eixo paralelo para encontrar o momento em relação ao eixo que passa pelo ponto onde o pêndulo está preso.

Para provar que a frequência angular máxima ocorre no ponto dado pelo enunciado, vamos usar truques do cálculo ao nosso favor, vamos derivar a fórmula da frequência angular que encontramos e verificar se x = L / 12 , faz com que essa derivada seja zero, se fizer temos o que queríamos.

E para resolver o item ( c ) , só teremos que isolar o L na fórmula da frequência angular que temos e depois substituir os valores que o enunciado nos deu.

Passo 2

Agora vamos usar o teorema dos eixos paralelos para encontrar o momento de inercia em relação ao eixo no qual a barra está presa.

Temos que:

I = I 0 + m R 2

O I 0 que é em relação ao centro de massa, é dado por:

I 0 = 1 12 m L 2

Temos que R = x , já que é R é a distância entre os eixos que passa no centro de massa e no ponto onde o pêndulo é preso, então temos que:

I = 1 12 m L 2 + m x 2

Passo 3

Agora vamos pegar a fórmula de frequência angular dada no enunciado e vamos substituir o que conhecemos nela, temos:

ω = m g d I

⇒ ω = m g x 1 12 m L 2 + m x 2

⇒ ω = g x L 2 12 + x 2

Pronto, chegamos onde queríamos.

Passo 4

Agora vamos derivar a expressão que temos de frequência angular e provar o que é pedido no item ( b ) , temos:

ω = g x L 2 12 + x 2

Fazendo:

d ω d x = d d x g x 1 2 x 2 + L 2 12 1 2

Então derivando ficamos com:

d ω d x = g 1 2 x - 1 2 x 2 + L 2 12 1 2 - 2 x 2 x 2 + L 2 12 3 2 x 1 2

Agora vamos igualar o termo entre parêntese a 0 e ver se encontramos x = L / 12 , então:

1 2 x - 1 2 x 2 + L 2 12 1 2 - 2 x 2 x 2 + L 2 12 x 1 2 = 0

⇒ 1 2 x - 1 2 - 2 x 3 2 2 x 2 + L 2 12 = 0

⇒ x - 1 2 - 2 x 3 2 x 2 + L 2 12 = 0

Assim:

x - 1 2 = 2 x 3 2 x 2 + L 2 12

Multiplicando os dois lados por x 1 2 , temos:

1 = 2 x 2 x 2 + L 2 12

⇒ x 2 + L 2 12 = 2 x 2

⇒ x 2 = L 2 12

Então encontramos que:

x = L 12

Logo esse ponto é um ponto de máximo.

Passo 5

Agora, vamos pegar a fórmula de frequência angular isolar L , temos:

ω = g x L 2 12 + x 2

⇒ ω 2 = g x L 2 12 + x 2

⇒ L 2 12 + x 2 = g x ω 2

Agora temos que substituir ω = ω m á x = 2 π   r a d / s e como estamos na amplitude máxima temos x = L / 12 , assim:

L 2 12 + L 12 2 = g L 12 ω 2

⇒ L 2 12 + L 2 12 = g L 4 π 2 12

⇒ L 6 = g 4 π 2 12

⇒ L = 3 g 2 π 2 12

⇒ L = 3 ( 9,8 ) 2 π 2 12

Assim, temos que:

L = 0,43   m

Resposta

( a )

ω = g x L 2 12 + x 2

( b )

x = L 12 é o ponto que faz ω ser máximo

( c )

L = 0,43   m

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