Estime a largura do armário de um relógio de pêndulo comum em relação à largura da extremidade na ponta do pendulo, supondo que o movimento desejado do pêndulo é harmônico simples.

Passo 1

A amplitude das oscilações pode ser considerada como a base de um triangulo isósceles, de lado L que é o comprimento do pêndulo. Vamos chamar de C P a largura do peso do pêndulo, e A a amplitude das oscilações. Então fazendo a soma:

C = C P + A

Que será a largura do armário do relógio.

E então vamos a razão entre o comprimento total e a largura do peso do pêndulo, para obtermos a relação que o enunciado pede:

C C P = 1 + A C P

Passo 2

Podemos escrever então a amplitude em termos do ângulo que o pêndulo faz em relação ao eixo que passa no meio do triângulo:

A = 2 L s e n θ

Passo 3

Como a oscilação do pêndulo não é pequena, devemos escrever o período em termos da oscilação angular pela série:

T = T 0 1 + 1 2 2 s e n 2 1 2 θ + …

Mas como o período deve ser praticamente igual a T 0 , o segundo termo nos colchetes deve ser bem menor que o primeiro:

1 2 2 s e n 2 1 2 θ ≤ 0.001

E então podemos achar um valor estimado para θ

θ ≤ 2 a r c s e n ( 0.00632 ) ≈ 7.25 °

Passo 4

Utilizando a equação do Passo 1:

C C P = 1 + A C P = 1 + 2 L s e n θ C P

E supondo que o comprimento de um pêndulo é 1.5 m e o largura do peso está em torno de 10 cm, nossa razão então fica:

C C P = 1 + 2 1.5   m s e n 7.25 ° 0.10 m ≈ 5

Resposta

C C P ≈ 5

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