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Enunciado

Física - Halliday - Vol 4- Ed: 10º - Capítulo 37.Problemas adicionais - Ex. 69

O problema do carro na garagem. Mário acaba de comprar a maior limusine do mundo, com um comprimento próprio L   =   30,5   m . Na Fig. 37-32a, o carro aparece parado em frente a uma garagem cujo comprimento próprio é L   =   6,00   m . A garagem possui uma porta na frente (que aparece aberta na figura) e uma porta nos fundos (que aparece fechada). A limusine é obviamente mais comprida que a garagem. Mesmo assim, Alfredo, que é o dono da garagem e conhece alguma coisa de mecânica relativística, aposta com Mário que é possível guardar a limusine na garagem com as duas portas fechadas. Mário, que parou de estudar física na escola antes de chegar à teoria da relatividade, afirma que isso é impossível, sejam quais forem as circunstâncias. Para analisar o plano de Alfredo, suponha que um eixo de referência x c , seja instalado no carro, com x c = 0 no para-choque traseiro, e que um eixo de referência x g , seja instalado na garagem, com x g =   0 na porta dianteira. Mário conduz a limusine em direção à porta da frente da garagem a uma velocidade de 0,9980 ⋅ c (o que na prática, naturalmente, é impossível). Mário está em repouso no referencial x c ; Alfredo está em repouso no referencial x g . Existem dois eventos a considerar. Evento 1: quando o para-choque traseiro passa pela porta da frente da garagem, a porta da frente é fechada. Vamos tomar o instante em que este evento ocorre como o instante inicial tanto para Mário como para Alfredo: t g 1 =   t c 1 = 0 . Este evento ocorre no ponto x c = x g = 0 . A Fig. 37-32b mostra o evento 1 do ponto de vista de Alfredo (referencial x g ). Evento 2: quando o para-choque dianteiro chega à porta dos fundos da garagem, a porta é aberta. A Fig. 37-32c mostra o evento 2 do ponto de vista de Alfredo. De acordo com Alfredo. (a) qual é o comprimento da limusine? Quais são as coordenadas ( b) x g 2 e (c) t g 2 do evento 2? (d) por quanto tempo a limusine permanece no interior da garagem com as duas portas da garagem fechadas? Considere agora a situação do ponto de vista de Mário (referencial x c ). Nesse caso, é a garagem que passa pela limusine com uma velocidade de - 0.9980 ⋅ c . De acordo com Mário, (e) qual é o comprimento da limusine? Quais são as coordenadas (f) x c 2 e (g) t c 2 do evento 2 (h) A limusine chega a passar algum tempo no interior da garagem com as duas portas fechadas? (i) Qual dos dois eventos acontece primeiro? (j) Faça um esboço dos eventos 1 e 2 do ponto de vista de Mário. (k) Existe uma relação causal entre os dois eventos, ou seja, um dos eventos é a causa do outro? (l) Finalmente, quem ganhou a aposta?

Passo 1

Para resolvermos esse problema vamos fazer uma análise da imagem e usar as relações para compressão do espaço e dilatação do tempo para cada referencial. Vamos precisar também lembrar dos postulados da relatividade e o conceito de simultaneidade para entender o fenômeno.

Passo 2

  1. Vamos começar chorando um pouco, pois esse enunciado é muito grande e me cansou muito escrever.... Não mais que resolver a questão, mas mesmo assim.

    2. Bom, agora vamos lá! O problema inicia no referencial do Alfredo, logo vamos calcular o tamanho da limusine para Alfredo, que será dado pela seguinte equação

    L c ' = L c γ = L c ⋅ 1 - β 2 = 30,5   m ⋅ 1 - 0,9980 2 = 1,93   m

    Passo 3

  2. Como o eixo x g não se move em relação a garagem, temos que x g 2 = L g = 6,00   m (mesmo tamanho da garagem).

    3. Passo 4

  3. Para t g 2 , vemos na imagem que no instante t g 1 = 0 a limusine tem o exato tamanho de L c ' , ainda sobrando uma distância L = L g - L c ' para chegar a porta traseira. Podemos então dizer que o tempo que a limusine precisa para chegar a porta traseira será

    4. Δ t g = t g 2 - t g 1 = L v = L g - L c ' v = 6,00   m - 1,93   m 0,9980 ⋅ 2,998 × 10 8   m / s = 1,36 × 10 - 8   s

    Então t g 2 será

    t g 2 = t g 1 + Δ t g = 0 + 1,36 × 10 - 8   s = 13,6   n s .

    Passo 5

  4. Como a limusine está no interior da garagem no intervalo Δ t g , temos que o tempo de permanência será 13,6   n s

    5. Passo 6

  5. Para Mário, temos que a garagem que terá um tamanho inferior, assim, utilizando a mesma equação do item (a), temos que

    6. L g ' = L g ⋅ 1 - β 2 = 6,00   m ⋅ 1 - 0,9980 2 = 0,379   m

    Passo 7

  6. Como em relação a limusine o eixo está estacionário, temos que x c 2 = L c = 30,5   m

    7. Passo 8

  7. Da mesma forma que obtivemos a variação do tempo para a limusine em relação a garagem faremos para a garagem em relação a limusine. Utilizando a mesma relação, teremos que

    8. Δ t c = t c 1 - t c 2 = L c - L g ' v = 1,01 × 10 - 7   s

    E t c 2 será t C 2 = t c 1 - Δ t c = - 1,01 × 10 - 7   s

    Passo 9

  8. Para Mário não, isso seria impossível.

    9. Passo 10

  9. Para Mário, o segundo evento ocorre primeiro.

    10. Passo 11

  10. Para Mário, a garagem é muito curta em relação a limusine e o evento 2 acontece antes do evento 1. Isso explica o porquê ele consegue atravessar a garagem sem bater, diferente do ponto de vista do Alfredo, onde a limusine se torna menor que a garagem

    11. Passo 12

  11. Não, já que o evento 1 poderia ter ocorrido nem necessariamente o 2 acontecer.

    12. Passo 9

  12. Ambos estão corretos em cada referencial, mas se alguém merecia ganhar com certeza seria Mário, por ter coragem de ir a essa velocidade para entrar em uma garagem que claramente não era maior que o carro.

Ps: Quem merecia ganhar também somos nós que fizemos esse exercício até aqui. Parabéns!

Resposta

  1. L c ' = 1,93   m
  2. x g 2 = 6,00   m
  3. t c 2 = 13,6   n s
  4. Δ t ' = 13,6   n s
  5. L g ' = 0,379   m
  6. x c 2 = 30,5   m
  7. t c 2 = - 1,01 × 10 - 7   s
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