Um projetista de páginas da Internet cria uma animação na qual um ponto da tela do computador possui posição r = [4,0cm + (2,5cm/s^2)t^2]i^ + (5,0cm/s)t j^ a) Ache o módulo, a direção e o sentido da velocidade média do ponto para o intervalo entre t_1 = 0 e t_2 = 2,0s . b) Ache o módulo, a direção e o sentido da velocidade instantânea parat_1 = 0 e t_2 = 2,0s . c) Faça um desenho da trajetória do ponto no intervalo entre t_1 = 0 e t_2 = 2,0s e mostre as velocidades calculadas em (b)

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui temos uma partícula que possui sua posição dada por uma equação dependente do tempo.

A partir dela, iremos encontrar a sua velocidade, para isso iremos utilizar a derivada.

Passo 2

Temos que:

r → = [ 4,0 + ( 2,5 ) t 2 ] i ^ + ( 5,0 ) t   j ^

Com t em segundos e r em c m .

E a partir deste podemos calcular x e y para qualquer t .

Então, para t = 0 : r → = 4 , 0   i ^ + 0 j ^

E para t = 2 s : r → = ( 14 ) i ^ + ( 10 ) j ^

Agora vamos calular o ∆ t , ∆ x e ∆ y :

∆ t = 2 s - 0 = 2   s

∆ x = 14 c m - 4 c m = 10   c m

∆ y = 10   c m

Passo 3

E então podemos calculara velocidade média de x e y :

Em x :

v m é d i a x = ∆ x ∆ t = 10 c m 2 s = 5 c m / s

Em y :

v m é d i a y = ∆ y ∆ t = 10 c m 2 s = 5 c m / s

Dessa forma, o modulo da velocidade média pode ser calculado por:

v = v m é d i a x 2 + v m é d i a y 2

v = 5 m 2 + 5 c m 2 = 7,1 c m / s

E para encontrar o modulo, fazemos:

tan ⁡ α = v m é d i a y v m é d i a x

tan ⁡ α = 5 c m 5 c m = 1

α = tan - 1 ⁡ ( 1 ) = 45 °

Passo 4

Vamos derivar r → para que possamos encontrar a velocidade instantânea:

v → = d r → d t = d d t 4 + 2,5 t 2   i ^ + 5 t   j ^

v → = 5 t   i ^ + 5   j ^

Para t = 0 : v x = 0 v y = 5 c m / s ⇒ v = 5 c   m / s e α = 90 °

Para t = 1 s : v x = 5 c m / s v y = 5 c m / s ⇒ v = 7,1   c m / s e α = 45 °

Para t = 2 s : v x = 10 c m / s v y = 5 c m / s ⇒ v = 11 , 2   c m / s e α = 2 6,6 °

Passo 5

A trajetória do gráfico de y x :

O esboço mostra que a velocidade instantânea em qualquer   t é tangente à trajetória.

Resposta

  1. v = 7,1 c m / s e direção 45 °
  2. Para t = 0 ⇒ v = 5 c m / s e α = 90 °
  3. Para t = 1 s ⇒ v = 7,1 c m / s e α = 45 °

    Para t = 2 s ⇒ v = 11 , 2 c m / s e α = 26,6 °

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