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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 2.1 - Ex. 47

Proxima Centauri, a estrela mais perto de nós, fora o nosso Sol, está a 4 , 1 × 10 13 km da Terra. De Zorg, um planeta orbitando essa estrela, um alien chamado Gregor faz um pedido na Pizza do Tony em Hoboken, Nova Jersey, se comunicando por sinais de luz. A nave de entrega mais rápida do Tony viaja a 1 , 00 × 10 - 4 c (veja a questão 46). (a) Quanto tempo demora para o pedido do Gregor chegar à Pizza do Tony? (b) Quanto tempo Gregor vai esperar desde o envio do sinal até o recebimento da pizza? Se o Tony tem uma política de entrega de “1000 anos ou de graça”, Gregor tem de pagar a pizza?

Passo 1

Nessa questão, temos uma situação em que um ser quer fazer um pedido de comida, mas mora extremamente longe. Acontece que a luz, apesar de muito rápida, não consegue chegar instantaneamente de Zorg à Terra. Esse fenômeno é semelhante ao atraso no som que se vê na TV quando um reporter está em outro país, mas com a luz em vez do som.

O exercício pode ser separado em duas partes, que correspondem a parte (1) e parte(2):

Parte(1)

Luz saindo de Zorg até a Pizzaria em Hoboken, Nova Jersey.

Distância percorrida pela luz:

Δ x = 4 , 1 × 10 13   k m

Para facilitar as contas, vamos deixar todas as variáveis no SI:

Δ x = 4 , 1 × 10 13 × 1   k m = 4 , 1 × 10 13 × 10 3   m = 4,1 × 10 13 + 3   m

Δ x = 4,1 × 10 16   m

Velocidade da luz:

c = 3,0 × 10 8   m / s

Parte (2)

Nave mais rápida do Tony indo entregar a pizza para o Gregor.

Distância percorrida pela nave, que é a mesma distância percorrida pela Luz:

Δ x = 4,1 × 10 16   m

Velocidade da Nave do Tony:

V n = 1,00 × 10 - 4 c = 1,00 × 10 - 4 × 3,0 × 10 8 = 3,0 × 10 - 4 + 8

V n = 3,0 × 10 4   m / s

Na parte (a), quer o tempo que demora para o sinal chegar na Terra, Δ t 1 . Na parte (b), quer saber duas coisas: o tempo total de espera até a pizza chegar, Δ t t o t a l e se a esperar vai demorar mais de 1000 anos, pois aí o Alien não paga.

Passo 2

(a)

Considerando que a luz tem movimento retilíneo e uniforme, e V m   a velocidade média:

c = V m

posso usar a equação de velocidade média :

V m = Δ x Δ t

Multiplicando em cruz:

V m × Δ t = Δ x

Isolando o Δ t :

Δ t = Δ x V m

Substituindo as variáveis do exercício:

Δ t 1 = Δ x c = 4,1 × 10 16 3,0 × 10 8 = 4,1 3,0 × 10 16 10 8 ≅ 1,4 × 10 16 - 8

Δ t 1 ≅ 1,4 × 10 8   s

Passo 3

(b)

Queremos saber primeiro Δ t t o t a l

Δ t t o t a l = Δ t 1 + Δ t 2

O Δ t 1 foi calculado na parte (a). Resta calcular Δ t 2

Para calcular Δ t 2 , considero que a nave tem movimento retilíneo e uniforme, e V m   a velocidade média:

V n = V m

posso usar a equação de velocidade média :

V m = Δ x Δ t

Multiplicando em cruz:

V m × Δ t = Δ x

Isolando o Δ t :

Δ t = Δ x V m

Substituindo as variáveis do exercício:

Δ t 2 = 4,1 × 10 16 3,0 × 10 4 = 4,1 3,1 × 10 16 10 4 ≅ 1,4 × 10 16 - 4

Δ t 2 ≅ 1,4 × 10 12   s

Calculando Δ t t o t a l

Δ t t o t a l = Δ t 1 + Δ t 2

Mas Δ t 1 é muito menor que Δ t 2 , 10000 vezes menor. Portanto, Δ t 1 é desprezível na soma com Δ t 2 :

Δ t t o t a l ≅ Δ t 2

Δ t t o t a l ≅ 1,4 × 10 12   s

Convertendo para minutos:

Δ t t o t a l ≅ 1,4 × 10 12   s = 1,4 × 10 12 × 1 s = 1,4 × 10 12 × 1   m i n 60 ≅ 0,023 × 10 12   m i n = 2,3 × 10 - 2 × 10 12 = 2,3 × 10 10   m i n

Convertendo para horas:

Δ t t o t a l = 2,3 × 10 10   m i n = 2,3 × 10 10 × 1   m i n = 2,3 × 10 10 × 1   h 60 ≅ 0.038 × 10 10   h = 3,8 × 10 - 2 × 10 10 = 3,8 × 10 8   h

Convertendo para dias:

Δ t t o t a l = 3,8 × 10 8   h = 3,8 × 10 8   × 1 h = 3,8 × 10 8 × 1   d i a s 24 = 0,16 × 10 8 = 1,6 × 10 - 1 × 10 8 = 1,6 × 10 7   d i a s

Convertendo para anos:

Δ t t o t a l = 1,6 × 10 7   d i a s = 1,6 × 10 7 × 1   d i a s = 1,6 × 10 7 × 1 a n o s 365 = 0.0044 × 10 7 = 4,4 × 10 - 3 × 10 7

Δ t t o t a l = 4,4 × 10 4   a n o s = 44000   a n o s

Como Δ t t o t a l > 1000   a n o s , Gregor não precisa pagar a pizza

Resposta

  1. Δ t 1 ≅ 1,4 × 10 8   s

  2. Δ t t o t a l = 4,4 × 10 4   a n o s = 44000   a n o s

Como Δ t t o t a l > 1000   a n o s , Gregor não precisa pagar a pizza

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