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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 3.1 - Ex. 88

A rapidez de uma flecha ao abandonar o arco é de cerca de 45,0 m/s. (a) Um arqueiro, a cavalo, atira uma flecha a um ângulo de 10° acima da horizontal. Se a seta está 2,25 m acima do chão quando lançada, qual é seu alcance horizontal? Supondo o chão plano e ignore a resistência do ar. (b) Suponha, agora, que o cavalo está galopando, e que a flecha é lançada para a frente. Suponha, também que o ângulo de elevação, no lançamento, seja o mesmo da Parte (a). Se a rapidez do cavalo é 12,0 m/s, qual é, agora, o alcance da flecha?

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

A figura abaixo vai nos ajudar a entender melhor o enunciado.

Para descobrir o alcance horizontal, podemos usar a equação da aceleração constante:

x - x 0 = v 0 x t + 1 2 a x t 2

Sabemos que a posição inicial é x 0 = 0 e que a aceleração é nula, temos:

x = v 0 x t

x = ( v 0 cos ⁡ θ ) t

t = x v 0 cos ⁡ θ

Analisando a posição verticalmente, temos:

y - y 0 = v 0 y t + 1 2 a y t 2

Sabemos que a posição inicial y 0 = h e que a aceleração é a da gravidade para baixo, logo:

y = h + v 0 y t - 1 2 g t 2

y = h + ( v 0 sin ⁡ θ ) t - 1 2 g t 2

Relacionando as duas equações da posição, temos:

y = h + ( v 0 sin ⁡ θ ) x v 0 cos ⁡ θ   - 1 2 g x v 0 cos ⁡ θ 2  

y = h + ( x tan ⁡ θ )   - 1 2 g x v 0 cos ⁡ θ 2

Aplicando ao movimento, temos que:

0 = h + ( R ⋅ tan ⁡ θ )   - 1 2 g R v 0 ⋅ cos ⁡ θ 2

R = v 0 2 2 g sin ⁡ 2 θ 1 + 1 + 2 g h v 0 2 sin 2 ⁡ θ

Substituindo os valores, encontramos:

R = 45 2 2 ⋅ 9,81 sin ⁡ 2 ⋅ 10 ° 1 + 1 + 2 ⋅ 9,81 ⋅ 2,25 45 2 sin 2 ⁡ 10 °

R = 82   m

Passo 2

Como o cavalo agora está galopando, nossa componente horizontal da velocidade será:

v x = 45 ⋅ cos ⁡ 10 ° + 12

v x = 56,32   m / s

A componente vertical da velocidade será:

v y = 45 ⋅ sin ⁡ 10 °

v y = 7,814   m / s

O novo ângulo de elevação será:

θ = tan - 1 ⁡ v y v x

θ = tan - 1 ⁡ 7,814 56,32

θ = 7,899 °

O módulo da velocidade de lançamento será:

v 0 = v x 2 + v y 2

v 0 = 56,32 2 + 7,814 2

v 0 = 56,86   m / s

Podemos agora expressar o novo alcance:

R = 56,86 2 2 ⋅ 9,81 sin ⁡ 2 ⋅ 7,899 ° 1 + 1 + 2 ⋅ 9,81 ⋅ 2,25 56,86 2 sin 2 ⁡ 7,899 °

R = 103,75   m

Resposta

a ) R = 82   m

b )   R = 103,75   m

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