No referencial S, os eventos 1 e 2 são separados por uma distância D = x2 - x1 e um tempo T = t2 - t1. (a) Use a transformação de Lorentz para mostrar que no referencial S ′, que está se movendo ao longo do eixo x com velocidade v em relação a S, a separação de tempo é t ′ 2 - t ′ 1 = γ T - vD / c2 (). (b) Mostre que os eventos podem ser simultâneos no quadro S ′ apenas se D for maior que cT. (c) Se um dos eventos for a causa do outro, a separação D deve ser menor que cT, porque D / c é o menor tempo que um sinal pode levar para viajar de x1 a x2 no quadro S. Mostre que se D é menor que cT, t′2 é maior que t′1 em todos os referenciais. Isso mostra que se a causa precede o efeito em um quadro, ela deve precedê-lo em todos os quadros de referência. (d) Suponha que um sinal pudesse ser enviado com velocidade c ′> c de modo que no quadro S a causa preceda o efeito no tempo T = D / c ′. Mostre que existe então um referencial movendo-se com velocidade v menor que c no qual o efeito precede a causa.

Passo 1

(a) Fala aíí!! Só vamos precisar da equação de transformação inversa aqui:

Temos:

t 2 ' = γ t 2 - v x 2 c 2

E:

t 1 ' = γ t 1 - v x 1 c 2

Assim:

t 2 ' - t 1 ' = γ t 2 - t 1 - v x 2 c 2 + v x 1 c 2

t 2 ' - t 1 ' = γ t 2 - t 1 - v c 2 ( x 2 - x 1 )

Assim:

t 2 ' - t 1 ' = γ T - v D c 2

Onde T = t 2 - t 1 e D = x 2 - x 1 . Mostrado!!

Passo 2

(b) Se os eventos 1 e 2 forem simultâneos t 2 ' = t 1 ' → t 2 ' - t 1 ' = 0 :

γ T - v D c 2 = 0

Como γ ≠ 0 :

T - v D c 2 = 0

E, assim, a distância entre eles:

v D c 2 = T

D = c 2 T v

Como v ≤ c , no máximo, teremos v = c . Como D é inversamente proporcional a v , o valor máximo de v será no valor mínimo de D :

D ≥ c T

Passo 3

(c) Se D < c T , pelo o que vimos no passo anterior, teríamos t 2 ' ≠ t 1 ' . Isso porque D < c T não se encaixa no critério que vimos para t 2 ' = t 1 ' . Dessa forma, os eventos não seriam simultâneos em S ' . Então, supondo t 2 ' > t 1 ' :

γ T - v D c 2 > 0

Assim:

T - v D c 2 > 0

E, assim, a distância entre eles:

v D c 2 > T

D > c 2 T v

Como v ≤ c , no máximo, teremos v = c . Como D é inversamente proporcional a v :

D < c T

Passo 4

(d) Se D = c ' T > c T :

T - v D c 2 = T - v c ' T c 2

T - v D c 2 = T 1 - v c c ' c = t 2 ' - t 1 '

Nesse caso, t 2 ' - t 1 ' pode ser negativo, ou seja, t 2 ' pode ser menor que t 1 ' , assim o efeito pode preceder a causa. Show??

Resposta

Explicações no passo a passo.

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