No referencial S, os eventos 1 e 2 são separados por uma distância D = x2 - x1 e um tempo T = t2 - t1. (a) Use a transformação de Lorentz para mostrar que no referencial S ′, que está se movendo ao longo do eixo x com velocidade v em relação a S, a separação de tempo é t ′ 2 - t ′ 1 = γ T - vD / c2 (). (b) Mostre que os eventos podem ser simultâneos no quadro S ′ apenas se D for maior que cT. (c) Se um dos eventos for a causa do outro, a separação D deve ser menor que cT, porque D / c é o menor tempo que um sinal pode levar para viajar de x1 a x2 no quadro S. Mostre que se D é menor que cT, t′2 é maior que t′1 em todos os referenciais. Isso mostra que se a causa precede o efeito em um quadro, ela deve precedê-lo em todos os quadros de referência. (d) Suponha que um sinal pudesse ser enviado com velocidade c ′> c de modo que no quadro S a causa preceda o efeito no tempo T = D / c ′. Mostre que existe então um referencial movendo-se com velocidade v menor que c no qual o efeito precede a causa.

(b) Se os eventos 1 e 2 forem simultâneos :

Como :

E, assim, a distância entre eles:

Como , no máximo, teremos . Como é inversamente proporcional a , o valor máximo de será no valor mínimo de :

(c) Se , pelo o que vimos no passo anterior, teríamos . Isso porque não se encaixa no critério que vimos para . Dessa forma, os eventos não seriam simultâneos em . Então, supondo :

Assim:

E, assim, a distância entre eles:

Como , no máximo, teremos . Como é inversamente proporcional a :

(d) Se :

Nesse caso, pode ser negativo, ou seja, pode ser menor que , assim o efeito pode preceder a causa. Show??