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Enunciado

Física - Halliday - Vol 4- Ed: 10º - Capítulo 38.5 - Ex. 48

A resolução de um microscópio eletrônico (menor dimensão linear que pode ser observada) é igual ao comprimento de onda dos elétrons. Qual é a tensão de aceleração dos elétrons necessária para que um microscópio eletrônico tenha a mesma resolução que um microscópio ótico operando com raios gama de 100   k e V ?

Passo 1

Nós queremos que os dois microscópios tenham a mesma resolução e, portanto, queremos que o elétrons e os fótons de raio gama tenham o mesmo comprimento de onda.

Sabemos que

λ = h p

Assim, ter o mesmo comprimento de onda significa ter o mesmo momento! O momento do fóton gama é dado por

p = E c = 100   k e V c = 100 k e V c

Se quiser converter para o SI, basta fazer

p = 100 ⋅   10 3 ⋅ 1,6 ⋅ 10 - 19   J 3 ⋅ 10 8 m s = 5,33 ⋅ 10 - 23   k g   m / s

Eu particularmente prefiro trabalhar com k e V / c e o motivo ficará claro no próximo passo!

Passo 2

Como queremos que o elétron tenha o mesmo comprimento de onda do fóton gama, temos que

p = 100 k e V c

Por outro lado, a energia cinética do elétron é

E = p 2 2 m = p c 2 2 m c 2

Nessa última passagem está o truque que simplifica nossa vida:

p c = 100 k e V c ⋅ c = 100   k e V

E para um elétorn, sabemos que m c 2 = 511   k e V :

E = 100   k e V 2 2 ⋅ 511   k e V = 9,78   k e V

Assim, a tensão de aceleração é

U = E e = 9,78   k V

Fazendo as contas no SI daria muito mais trabalho...

Resposta

9,78   k V

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