Enunciado

Um rojão, lançado segundo um ângulo de 45   ° ,explode em dois fragmentos ao atingir sua altura máxima, de 25 m; os fragmentos são lançados horizontalmente. Um deles, de massa igual a 100g, cai no mesmo plano vertical da trajetória inicial, a 90m de distância do ponto do lançamento. O outro fragmento tem massa igual a 50g. a) A que distância do ponto de lançamento cai o fragmento mais leve? b) Quais são as velocidades comunicadas aos dois fragmentos em consequência da explosão? c) Qual é a energia mecânica liberada na explosão?

Passo 1

  1. Aqui o centro de massa dos fragmentos continua caindo e seguindo a trilha do rojão, então pra descobrir a sua distância horizontal basta utilizarmos a fórmula do alcance do projétil!
  2. A = x c m = v 2 g s e n 2 θ

    Mas aqui ainda falta descobrir a velocidade inicial, pra isso vamos usar a informação da altura máxima, nesse ponto a velocidade vertical é nula. Saca só como fica

    v = v 0 y - g t   y = v 0 y t - g 2 t 2  

    v = v 0 y - g t

    ( v = 0 )

    t = v 0 s e n θ g

    Para y máx substitutimos na equação 2

    y m á x = v 0 s e n θ . v 0 s e n θ g - g 2 v 0 2 s e n 2 θ g 2

    y m á x = v 0 2 s e n 2 θ 2 g

    v 0 2 = y m á x 2 g s e n 2 θ

    = 25   .   2   .   9,8 1 2   2  

    = 980   m 2 / s 2

    Pegando a fórmula lá do começo vamos colocar nosso valor de v 0 2

    x c m =   980 9,8 s e n 90 °

    = 100   m

    Passo 2

    Para calcular a distância do outro fragmento é só aplicar na fórmula do centro de massa, belê?

    x c m =   x 1 m 1 + x 2 m 2 m 1 + m 2  

    100 = 90   .   100 + 50 x 2 150

    x 2 = 100   .   150 - 90   .   100 50

    = 120   m

    Passo 3

  3. Aqui podemos achar as velcoidades horizontais de cada massa após a explosão descobrindo o tempo de queda e a distância horizontal percorrida. Lets bora!
  4. O tempo de queda dos 2 fragmentos é o tempo de queda do centro de massa , mas o tempo de queda do fragmento também é o tempo de subida que já calculamos lá em cima

    t q = t s =   v 0 s e n θ g

    = 980 9,8 2

    = 2,26   s

    Pronto, como lá na altura máxima o rojão já tinha percorrido metade do alcance total a posição inicla dos fragmentos era 50   m . Show! Bora calcular as velocidades

    v 1 = Δ s 1 t q

    = 90 - 50 2,26

    = 17 ,   7   m / s

    v 2 = 120 - 50 2,26

    = 31   m / s

    Mas não acabou ainda ☹ . A velocidade comunicada aos projéteis é a velocidade relativa deles em relação ao centro de massa, fica assim então

    v c 1 = 17,7 - v 0 x

    = 17,7 - v 0 c o s θ = 17,7 - 980 2

    =   - 4,43   m / s

    v c 2 =   31 - 980 2

    = 8,86   m / s

    Passo 4

  5. Basta calcular a energia cinética com relação às velocidades comunicadas aos projéteis! Vem comigo!

K = 1 2   m 1 v 1 2 + m 2 v 2 2

= 1 2   0,1   .   4,43 2 + 0,05   .   8,86 2

= 2,94   J

Resposta

a )   120   m

b )   f r a g m e n t o   m e n o r =   8,86   m / s

f r a g m e n t o   m a i o r =   - 4,43   m / s

c )   2,94   J

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