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Enunciado

Física - Fundamentos de Física Volume 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica - 10ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 10º - Capítulo 13.Problemas Adicionais - Ex. 87

(a) Se a lendária maçã de Newton fosse liberada, a partir do repouso, 2   m acima da superfície de uma estrela de nêutrons com uma massa igual a 1,5 vez a massa do Sol e um raio de 20   k m , qual seria a velocidade da maçã ao atingir a superfície da estrela? (b) Se a maçã ficasse em repouso sobre a superfície da estrela, qual seria a diferença aproximada entre a aceleração gravitacional no alto e na base da maçã? (Suponha um tamanho razoável para a maçã; a resposta indica que uma maçã não permaneceria intacta nas vizinhanças de uma estrela de nêutrons.)

Passo 1

Se a questão fosse situada na Terra, tentaríamos achar a aceleração da gravidade de depois jogaríamos na equação de Torricelli, porque é bem seguro tratar a aceleração como constante em uma distância tão pequena.

Mas pra garantir, já que estamos em um lugar desconhecido, vamos usar a conservação de energia:

K 1 + U 1 = K 2 + U 2

1 2 m v 0 2 - G M m r 0 = 1 2 m v f 2 - G M m r f

Se a maçã parte do repouso:

1 2 v f 2 = G M 1 r f - 1 r 0

v f = 2 G M r 0 - r f r o . r f

Pronto, agora é só substituir os valores:

v f = 2 ( 6,67.10 - 11 ) ( 1,5   M s ) ( 20.10 3 + 2 ) - ( 20.10 3 ) 40.10 3

v f = 2 6,67.10 - 11 3,0   .   10 30 2 40.10 3

v f = 1,4   .   10 6   m / s

Pois M s = 2   .   10 30 k g

Passo 2

(b) Vamos supor que a maçã tem um diâmetro de 10   c m = 0,1   m , e vamos aplicar a fórmula da aceleração da gravidade:

a g = G M r 2

Para a “base” da maçã:

a g = 6,67.10 - 11 3.10 30 20.10 3 2 = 5,0025.10 11

Para o “topo” da maçã:

a g = 6,67.10 - 11 3 . 10 30 20.10 3 + 0,1 2 = 5,002449975.10 11

E a diferença será:

Δ a g = 5.10 6   m / s 2

Resposta

(a) A velocidade ao atingir a superfície será v f = 1,4   .   10 6   m / s

(b) Δ a g = 5.10 6   m / s 2   , para uma maçã com 0,1   m de diâmetro

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