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Enunciado

Física - Curso de Física Básica - Mecânica Volume 1 - 5ª Edição - Herch Moysés Nussenzveig- Ed: 5º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 13

Um satélite síncrono da Terra é um satélite cujo período de revolução em torno da Terra é de 24 horas, de modo que permanece sempre acima do mesmo ponto da superfície da Terra. a) Para uma órbita circular, a que distância do centro da Terra ( em Km e em raios da Terra) precisa ser colocado um satélite para que seja síncrono? b) Que velocidade mínima seria preciso comunicar a um corpo na superfície da Terra para que atingisse essa órbita (desprezando os efeitos da atmosfera)?

Passo 1

  1. Galera, essa primeira alternativa nos pede somente pra fazer uma relaçãozinha entre período de rotação e arco percorrido, certo? Temos isso aqui ó

    2. T = Δ s v             ( 1 )

    Aqui nossa velocidade v é a velocidade de órbita do satélite, vamos calcular pra matar a questão.

    Numa órbita cirular a força gravitacional nada mais é do que a resultante centrípeta

    F g = m v 2 R

    Substituindo o valor da força gravitacional,

    G m M t R 2 = m v 2 R

    Agora é só isolar a velocidade

    v = G M t R

    A gente sabe que o satélite tem que percorrer 2 π R   de comprimento em um dia, substituindo na equação ( 1 ) fica assim

    T = 2 π R G M t R

    Elevando os dois lados ao quadrado,

    T 2 = 4 π 2 R 3 G M t

    →

    R = T 2 G M t   4 π ² 3

    Passo 2

    Agora que encontramos a fórmula pro raio da órbita, só precisamos colocar o período certinho do satélite pra se igualar à rotação da terra, bora lá?

    T = 24   h o r a s

    = 24   .   3600   s = 86400   s

    M t = 5,97   .   10 24   k g

    R = 8,64   . 10 4 2   .     6,67   .   10 - 11 .   5,97   .   10 24 4 π 2 3

    = 4,22   .   10 7   m

    = 4,22   .   10 4   K m

    Como a terra possui 6,371   .   10 3 K m de raio isso equivale a 6,63 raios da Terra.

    Passo 3

  2. Vamos utilizar o teorema do trabalho-energia cinética já que a gente sabe a energia cinética final suficiente pra deixar o corpo em órbita e também o trabalho realizado pela gravidade! Vamos primeiro só escrever a definição de Δ K , chega junto

Δ K = 1 2 m v f 2 - v i 2

Como calculado antes, v f = G M T R

Δ K = 1 2 m G M T R - 1 2 m v i 2

→

1 2 m v i 2 = 1 2 m G M T R - Δ K

→

v i = m G M T R - 2 Δ K m         ( 2 )

Mas, sabemos que Δ K = W r e s

W r e s =   - Δ U g

= U s u p e r f í c i e - U ó r b i t a

Na superfície a energia potencial é dada pelo raio da terra e na órbita epelo raio da órbita, então temos

Δ K = - G m M t R t + G m M t R

= G m M T 1 R - 1 R t

Substituindo na equação ( 2 ) ,

v i = G M T 1 R - 2 R + 2 R t

= G M T 2 R t - 1 R  

Substituindo os valores conclúimos que v i equivale a

v i =   6,67   .   10 - 11 . 5,92   .   10 24 2 6,371.10 6   - 1 4,22   .   10 7    

= 10,3   .   10 3   m / s

= 10,3   K m / s

Resposta

a )   R = 4,22   .   10 4   K m .   6,63   r a i o s   d a   T e r r a .

b )   10,3   K m / s  

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