Enunciado
Física - Moysés - Vol. 2 - Ed: 4º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 3
Seja a razão entre dois máximos consecutivos do deslocamento de um oscilador livre fracamente amortecido (). O parâmeto chama-se decremento logarítmico. (a) Relacione com a constante de amortecimento e com o período do oscilador. (b) Se é o número de períodos necessário para que a amplitude de oscilação caia à metade do valor inicial, ache .
Passo 1
(a) Imagine um oscilador harmônico simples:
Agora queremos que ele seja um oscilador fracamente amortecido. Isso quer dizer que a amplitude de oscilação vai variar com o tempo:
Vamos dizer que existe um máximo de amplitude no instante e um máximo consecutivo no instante .
A razão entre os dois máximos é:
Agora, seguindo a fórmula do enunciado, vamos tirar o módulo logaritmo de :
A distância entre os dois máximos é o período do oscilador:
Passo 2
A amplitude de oscilação segue a seguinte função:
Se entre dois instantes e a amplitude é reduzida à metade, temos que:
Vamos tirar o logaritmo do módulo dos dois lados:
Podemos escrever o intervalo como um número de períodos , ou seja:
Então:
O termo em parênteses do lado esquerdo é simplesmente a fórmula para :
Resposta
(a) .
(b) .