Seja r a razão entre dois máximos consecutivos do deslocamento de um oscilador livre fracamente amortecido ( γ ≪ ω 0 ). O parâmeto δ = ln ⁡ r chama-se decremento logarítmico. (a) Relacione δ com a constante de amortecimento γ e com o período τ do oscilador. (b) Se n é o número de períodos necessário para que a amplitude de oscilação caia à metade do valor inicial, ache δ .

Passo 1

(a) Imagine um oscilador harmônico simples:

x t = A cos ⁡ ω t + ϕ

Agora queremos que ele seja um oscilador fracamente amortecido. Isso quer dizer que a amplitude de oscilação vai variar com o tempo:

A = A t = A 0 e - γ 2 t

Vamos dizer que existe um máximo de amplitude A 1 no instante t 1 e um máximo consecutivo A 2 no instante t 2 .

A razão entre os dois máximos é:

r = A 2 A 1 = A 0 e - γ 2 t 2 A 0 e - γ 2 t 1 = e - γ 2 t 2 - t 1

Agora, seguindo a fórmula do enunciado, vamos tirar o módulo logaritmo de r :

δ = ln ⁡ r = γ 2 t 2 - t 1

A distância entre os dois máximos é o período τ do oscilador:

δ = γ τ 2

Passo 2

A amplitude de oscilação segue a seguinte função:

A = A t = A 0 e - γ 2 t

Se entre dois instantes t a e t b a amplitude é reduzida à metade, temos que:

A t b A t a = 1 2

A 0 e - γ 2 t b A 0 e - γ 2 t a = 1 2

Vamos tirar o logaritmo do módulo dos dois lados:

γ 2 t b - t a = ln ⁡ 1 2

Podemos escrever o intervalo t b - t a como um número n de períodos , ou seja:

t b - t a = n τ

Então:

γ τ 2   n = ln ⁡ 1 2

O termo em parênteses do lado esquerdo é simplesmente a fórmula para δ :

δ = 1 n ln ⁡ 1 2 ≅ 0,69 n

Resposta

(a) δ = γ τ 2 .

(b) δ = 0,69 n .

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