Seja r a razão entre dois máximos consecutivos do deslocamento de um oscilador livre fracamente amortecido ( γ ≪ ω 0 ). O parâmeto δ = ln ⁡ r chama-se decremento logarítmico. (a) Relacione δ com a constante de amortecimento γ e com o período τ do oscilador. (b) Se n é o número de períodos necessário para que a amplitude de oscilação caia à metade do valor inicial, ache δ .

(a) δ = γ τ 2 .(b) δ = 0,69 n .

Enunciado

(a) Imagine um oscilador harmônico simples:

Agora queremos que ele seja um oscilador fracamente amortecido. Isso quer dizer que a amplitude de oscilação vai variar com o tempo:

Vamos dizer que existe um máximo de amplitude no instante e um máximo consecutivo no instante .

A razão entre os dois máximos é:

Agora, seguindo a fórmula do enunciado, vamos tirar o módulo logaritmo de :

A distância entre os dois máximos é o período do oscilador:

A amplitude de oscilação segue a seguinte função:

Se entre dois instantes e a amplitude é reduzida à metade, temos que:

Vamos tirar o logaritmo do módulo dos dois lados:

Podemos escrever o intervalo como um número de períodos , ou seja:

Então:

O termo em parênteses do lado esquerdo é simplesmente a fórmula para :

(a) .

(b) .