Enunciado
Física - Moysés - Vol. 2 - Ed: 4º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 2
Um oscilador harmônico amortecido tme um fator . Partindo da posição de equilíbrio, é-lhe comunicada uma velocidade inicial de . Verifica-se que a energia total do oscilador diminui numa taxa, por segundo, igual a vezes a sua energia cinética instantânea. Calcule o deslocamento do oscilador (em ) em função do tempo (em ).
Passo 1
Vamos começar lembrando da fórmula para o “fator de mérito” :
Onde é a frequência natural de oscilação e é o fator de amortecimento. Já temos o valor de , mas para determinar a frequência natural, vamos precisar encontrar o .
Bom, o enunciado diz que a variação da energia total do oscilador é quatro vezes a energia cinética instantânea.
Então, na média, vamos ter a seguinte relação para a perda de energia por segundo:
Mas a definição da perda de energia por segundo é:
Onde é a energia média total. A energia total média é igual ao dobro da energia cinética média, então:
Agora é só igualar as duas fórmulas:
Passo 2
Podemos usar esse resultado para determinar o fator de mérito :
Ainda temos que montar a expressão para o deslocamento em função do tempo. Pela comparação entre e , podemos determinar que o amortecimento é subcrítico:
Então a solução tem a seguinte forma:
Onde a frequência angular é dada pela seguinte fórmula:
Substituindo esse valor e o , ficamos com:
Falta definir as constantes e , mas para isso vamos precisar das condições iniciais.
Passo 3
O enunciado diz que o oscilador parte da posição de equilíbrio:
Então:
E a velocidade inicial é :
Então a expressão final é:
Resposta
O deslocamento é dado por . Onde é em metros e em segundos.