Um oscilador não amortecido de massa m e frequência própria ω 0 move-se sob a ação de uma força externa F = F 0 sen ⁡ ω t , partindo da posição de equilíbrio com velocidade inicial nula. Ache o deslocamento x t .

O deslocamento é dado por x t = F 0 m ω 0 2 - ω 2 sen ⁡ ω t - ω ω 0 sen ⁡ ω 0 t + ϕ .

Enunciado

Vamos lembrar da equação diferencial de um oscilador harmônico simples.

Começamos com a segunda lei de Newton descrevendo uma força restauradora qualquer:

E definimos , então:

Se além da força restauradora nós temos uma força externa , a equação fica da seguinte forma:

A solução homogênea da EDO (desconsiderando o termo da força externa) é a que já conhecemos bem para o oscilador harmônico:

Mas agora precisamos achar uma solução não homogênea.

Como temos uma função trigonométrica do outro lado da equação, vamos chutar a seguinte solução particular:

Cuidado, esse é a mesma frequência da força externa, mas é diferente da frequência natural do oscilador.

Substituindo isso na EDO, ficamos com o seguinte:

Então:

E a solução particular é:

Agora vamos juntar as duas soluções que encontramos para determinar a solução geral:

Agora vamos impor as condições iniciais que foram dadas no enunciado:

Começando pela primeira:

Para aplicar a segunda condição, primeiro nós precisamos derivar :

Agora vamos fazer :

Agora vamos substituir tudo isso na solução geral:

O deslocamento é dado por .