Enunciado
Física - Moysés - Vol. 2 - Ed: 4º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 7
Um oscilador não amortecido de massa e frequência própria move-se sob a ação de uma força externa , partindo da posição de equilíbrio com velocidade inicial nula. Ache o deslocamento .
Passo 1
Vamos lembrar da equação diferencial de um oscilador harmônico simples.
Começamos com a segunda lei de Newton descrevendo uma força restauradora qualquer:
E definimos , então:
Se além da força restauradora nós temos uma força externa , a equação fica da seguinte forma:
A solução homogênea da EDO (desconsiderando o termo da força externa) é a que já conhecemos bem para o oscilador harmônico:
Mas agora precisamos achar uma solução não homogênea.
Passo 2
Como temos uma função trigonométrica do outro lado da equação, vamos chutar a seguinte solução particular:
Cuidado, esse é a mesma frequência da força externa, mas é diferente da frequência natural do oscilador.
Substituindo isso na EDO, ficamos com o seguinte:
Então:
E a solução particular é:
Agora vamos juntar as duas soluções que encontramos para determinar a solução geral:
Passo 3
Agora vamos impor as condições iniciais que foram dadas no enunciado:
Começando pela primeira:
Para aplicar a segunda condição, primeiro nós precisamos derivar :
Agora vamos fazer :
Passo 4
Agora vamos substituir tudo isso na solução geral:
Resposta
O deslocamento é dado por .