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Enunciado

Física - Curso de Física Básica - Mecânica Volume 1 - 5ª Edição - Herch Moysés Nussenzveig- Ed: 5º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 6

Supondo que a atração gravitacional da nossa galáxia, de massa total M g e raio R g , atua como se toda a massa estivesse concentrada no seu centro, e comparando a órbita circular em torno de uma estrela situada na beirada da galáxia, de velocidade v g , com a órbita Terra em torno do Sol, de raio médio R . Mostre que

M g M s = v g 2 R g v 2 R

Onde m s é a massa do Sol e v é a velocidade orbital da Terra em torno do Sol. Sabendo que a velocidade orbital do Sistema Solar em torno do centro da galáxia é de aproximadamente 200 k m s e que a distancia dele ao centro é de aproximadamente 3 R g 5 . (a) Estime v g usando o resultado (b) do problema 3, (b) estime M g / M s sabendo que R g = 5 × 10 4   a n o s   l u z .

Passo 1

Se liga aí! O nosso sistema é um corpo de massa m , orbitando em torno de um planeta de massa M , com velocidade escalar v . Vamos analisar a órbita desse sistema – a gente vai ver que a resultante centrípeta é a única força atuando, que é a atração gravitacional!

m v 2 R = G M m R 2

v 2 R M = G = c o n s t a n t e

Então, como essa relação é constante, podemos comparar para os corpos G e S :

v 2 R M s = v g 2 R g M g

Arrumando a casa:

M g M s = v g 2 R g v 2 R

Passo 2

Beleza, agora a gente aplica pra essas brincadeiras que ele pede!

  1. Na letra (a), vamos usar o resultado do problema 10.3. Lá, a gente achou o seguinte:

    2. v = G M R = g R

    Do enunciado, v = 200 k m s e R = 3 R g 5 . Como as massas consideradas eram iguais:

    v g 2 R g = v 2 R

    v g = v R R g

    v g = 200 3 5

    v g ≅ 155 k m s

    Passo 3

  2. Aqui na letra (b), a gente quer achar a razão das massas para R g = 5 × 10 4   a n o s   l u z . Pra isso a gente tem que saber o raio de rotação da Terra em torno do Sol. Isso é aproximadamente igual a R = 1.6 × 10 - 5   a n o s   l u z , que equivale a 1.5 × 10 11   m e t r o s . Esse valor é estimado pesquisando mesmo hahahah.

M g M = v g 2 R g v 2 R

Essa velocidade v a gente vai calcular pela distância que a Terra percorreu pra orbitar o Sol, dividida pelo período!

M g M = 155 × 10 3 2 5 × 10 4 2 π 1.5 × 10 11 365 × 24 × 3600 2 1.6 × 10 - 5

M g M = 10 11

Resposta

  1. v g ≅ 155 k m s

  2. M g M = 10 11
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