Calcule o campo gravitacional produzido por uma camada esférica homogênea de densidade ρ , raio interno a e raio externo b , num ponto situado dentro da camada, à distância r do centro ( a ≤ r ≤ b ) . Mostre que para uma camada delgada o campo varia linearmente (com boa aproximação) entre as superfícies interna e externa.

Passo 1

A gente está trabalhando com casca. A sua parte interna é oca, e então não tem massa, certo? Mas se não tem massa não tem campo gravitacional! Então a gente só precisa se preocupar com a massa que está entre o centro e a .

O campo a uma distância r do centro é:

g = G m r 2

Passo 2

Agora precisamos achar a massa m que está dentro dessa região, que pode ser calculada em função da densidade e do volume.

M = ρ V

Não esquece que entre o centro e a borda de esfera de raio a é tudo oco. Logo,

V = 4 3 π b 3 - 4 3 π a 3 = 4 3 π ( b 3 - a 3 )

Portanto,

ρ = M 4 3 π ( b 3 - a 3 )

Passo 3

O volume entre o centro e a borda de esfera de raio r será:

V ' = 4 3 π r 3 - 4 3 π a 3 = 4 3 π ( r 3 - a 3 )

Assim,

m = ρ V ' = M 4 3 π ( b 3 - a 3 ) ⋅ 4 3 π r 3 - a 3 = M r 3 - a 3 b 3 - a 3

Como já achamos a massa m agora é só voltar pra expressão do campo!

g = G M r 3 - a 3 r 2 b 3 - a 3

Esse resultado que a gente encontrou não é exatamente linear, mas ele é quaaaase linear! Porque se a gente for escrever isso em função de r , vai ficar assim:

g = G M b 3 - a 3 r - a 3 r 2

O primeiro termo é linear, beleza, mas o segundo termo não é... Então a gente não pode dizer que é linear não. Mas pra um r bem grande, é linear sim, porque esse fator a 3 r 2 fica beeem pequeno!

Resposta

g = G M r 3 - a 3 r 2 b 3 - a 3

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