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Enunciado

Física - Halliday - Vol 3- Ed: 4º - Capítulo 27.Exercícios e Problemas - Ex. 48

Suponha que o elétron não seja um ponto, mas sim uma esfera de raio R, e que a carga eletrônica esteja distribuída uniformemente sobre essa superfície. (a) Determine a energia que está associada ao campo elétrico externo do elétron, no vácuo, como função de R. (b) Associando-se, agora, tal energia à massa do elétron, podemos usar E = m c 2 , e estimar o valor de R. Calcule este raio numericamente; ele é frequentemente chamado de raio clássico do elétron.

Passo 1

Fala galera, bora lá!

Assumindo que o elétron é uma esfera carregada de raio R sobre cuja carga e é uniformemente distribuída pela superfície, o campo elétrico para r ≥ R será

E r = e 4 π ϵ 0 r 2

Portanto, a densidade de energia do campo elétrico no espaço fora do elétron será

u r = 1 2 ϵ 0 E 2 r = 1 2 ϵ 0 e 4 π ϵ 0 r 2 2

Assim,

u r = e 2 32 π 2 ϵ 0 r 4

Portanto, a energia total associada a um elétron de raio R e carga e será

E = ∫ R ∞ 4 π r 2   d r u r = e 2 8 π ϵ 0 R

Passo 2

Agora associamos essa energia à massa do elétron. Isto é

E = e 2 8 π ϵ 0 R = m c 2

Ou

R = e 2 8 π ϵ 0 m c 2

Que é chamado de raio clássico do elétron.

Passo 3

Em seguida, calculamos seu valor numérico.

R = 1,6 × 10 - 19 2 8,85 × 10 12 2 9,11 × 10 - 31 3,0 × 10 8 2

R = 1,4 × 10 - 15   m

Resposta

R = 1,4 × 10 - 15   m

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