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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 11.1 - Ex. 84

Um agregado globular é uma coleção aproximadamente esferica de até milhões de estrelas ligadas pelo força da gravidade. Os astrônomos medem as velocidades das estrelas no agragado para estudar sua composição e ter uma ideia da distribuição de massa dentro do agregado. Supondo que todas as estrelas tenham aproximadamente a mesma massa e estejam distribuidas uniformemente ao longo do agregado, mostre que a rapidez média de uma estrela em uma orbita circular em torno do centro do agregado deve crescer linearmente com sua distância ao centro.

Passo 1

Vamos considerar que nosso agregado tenha raio R e possui um total de N estrelas em seu conjunto. Aplicando a lei da gravitação, temos:

F = N r ⋅ G M 2 r 2

Onde N r representa o numero de estrelas a uma distancia r do centro do aglomerado e M é a massa de uma estrela.

Como a retultante é centrípeta:

N r ⋅ G M 2 r 2 = M v 2 r

Logo,

v = N r ⋅ G M r

Passo 2

Agora vamos relacionar N r com N . Conisderando uma distribuição uniforme, temos:

ρ =   N r ⋅ M 4 3 π r 3 = N ⋅ M 4 3 π R 3

Isolando N ( r ) :

N r = N r 3 R 3

Passo 3

Agora é só usar o N ( r ) que encontramos no passo 2 com a velocidade do passo 1.

v = N r ⋅ G M r

Como N r = N r 3 R 3 :

v = ( N r 3 R 3 ) ⋅ G M r = r G N M R 3

Portanto, verificamos que a rapidez média crece linearmente com a distância ao centro.

Resposta

v = r G N M R 3

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