A Terra não possui uma densidade uniforme; ela é mais densa em seu centro e menos densa na superfície. Uma expressão aproximada para sua densidade é ρ r = A - B r , onde A = 12700k h / m 3 e B = 1,50 × 10 - 3k g / m 4 . Considere a Terra uma esfera de raio R = 6,37 × 10 6m . (a) Evidencias geológicas indicam que as densidade são de 13100k g / m 3 no centro e de 2400k g 1 m 3 na superfície. Quais sõ os valores obtidos para a densidade nesses dois pontos com o nosso modelo de aproximação? (b) Imagine a Terra dividida em camadas esféricas concentrias. Cada camada possui raio r, espessura dr, volume d V = 4 π r 2 d r e massa d m = ρ r d V . Integrando desde r=0 até r=R, mostre que a massa da Terra com esse modelo é dada por M = 4 3 π R 3 A - 3 4 B R . (c) Mostre que os valores dados de A e B fornecem a massa da Terra com precisão de 0,4 % . (d) Vimos na Seção 12.6 que uma casca esférica uniforme não contribui para g em seu interior. Mostre que, neste modelo, g r = 3 4 π G r A - 3 4 B r no interior da Terra. E) Mostre que a expressão obtida no item (d) fornece g=0 no centro da Terra e g=9,85 m / s 2 na superfície da Terra. f) Mostre que, nesse modelo, g não diminui uniformemente com a profundidade e, ao contrario, atinge um valor máximo igual a 4 π G A 2 / 9 B = 10,01m / s 2 no ponto r = 2 A / 3 B = 5640k m .

Enunciado

Siga o procedimento descrito na parte (b). Para um objeto esférico simétrico, com massa total me raio r, em pontos na superfície do objeto,

A terra tem massa . Se g (r) é o máximo em , então

Para .

e em , o modelo prediz

e
que está dentro de 0,36% da massa da Terra.

Passo 4
Se for usado para denotar a massa contida em uma esfera de raio, então . Usando o mesmo integração como a da parte (b), com um limite superior de em vez de , dá o resultado.

Definir este valor como zero dá , e neste raio

Ei, a resposta está no passo a passo :)