Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.Problemas - Ex. 55
A Terra não possui uma densidade uniforme; ela é mais densa em seu centro e menos densa na superfície. Uma expressão aproximada para sua densidade é , onde e . Considere a Terra uma esfera de raio . (a) Evidencias geológicas indicam que as densidade são de no centro e de na superfície. Quais sõ os valores obtidos para a densidade nesses dois pontos com o nosso modelo de aproximação? (b) Imagine a Terra dividida em camadas esféricas concentrias. Cada camada possui raio r, espessura dr, volume e massa . Integrando desde r=0 até r=R, mostre que a massa da Terra com esse modelo é dada por . (c) Mostre que os valores dados de A e B fornecem a massa da Terra com precisão de . (d) Vimos na Seção 12.6 que uma casca esférica uniforme não contribui para g em seu interior. Mostre que, neste modelo, no interior da Terra. E) Mostre que a expressão obtida no item (d) fornece g=0 no centro da Terra e g=9,85 na superfície da Terra. f) Mostre que, nesse modelo, g não diminui uniformemente com a profundidade e, ao contrario, atinge um valor máximo igual a no ponto .
Passo 1
Siga o procedimento descrito na parte (b). Para um objeto esférico simétrico, com massa total me raio r, em pontos na superfície do objeto,
A terra tem massa . Se g (r) é o máximo em , então
Para .
Passo 2
- Em , o modelo prevê
- e
-
que está dentro de 0,36% da massa da Terra.
Passo 4
- Se for usado para denotar a massa contida em uma esfera de raio, então . Usando o mesmo integração como a da parte (b), com um limite superior de em vez de , dá o resultado.
-
em
E
em
Passo 5
- Mostrando que esse modelo diminui
e em , o modelo prediz
Passo 3
Passo 5
Definir este valor como zero dá , e neste raio
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)