Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 14º - Capítulo 16.Exercícios - Ex. 28
O trato vocal. Muitos cantores de ópera (e alguns cantores populares) possuem uma faixa de cerca de 2 1/2 oitavas ou ainda maior. Suponha que a faixa de uma soprano se estenda desde A abaixo do C médio (frequência de 220 Hz) até o E bemol acima do C alto (frequência de 1.244 Hz). Embora o trato vocal seja bastante complicado, podemos modelá-lo como uma coluna de ar ressonante, semelhante a um tubo de órgão, aberta no alto e fechada na parte inferior. A coluna se estende da boca até o diafragma, na cavidade peitoral, e também podemos considerar que a nota musical mais baixa seja a fundamental. Qual é a extensão dessa coluna de ar se u=354 m/s? Seu resultado parece ser razoável, com base nas observações do seu próprio corpo?
Passo 1
Fala galera, bora lá! Nesse exercício vamos estudar ressonância sonora em tubos fechados. Modelando o trato vocal como um tubo fechado em uma das extremidades e sabendo duas frequências de ressonância relativas a esse tubo, vamos determinar a extensão desse trato vocal.
Sabemos que duas frequências de ressonância desse tubo são e . Lembre-se que a frequência de ressonância de um modo n (impar) qualquer é dada por:
Passo 2
Podemos escrever então:
Queremos determinar , mas não sabemos os valores de e , mas sabemos que as duas frequências são múltiplas ao mesmo tempo da frequência fundamental, dessa forma podemos determinar a frequência fundamental pelos divisores comuns das duas frequências.
Passo 3
Vamos começar por calcular o máximo divisor comum entre elas, mas vale lembrar que e obtidos devem ser ambos impares:
Como 220 e 1244 são múltiplos impares do mínimo múltiplo comum 4, temos que . Com essa informação, podemos determinar o tamanho do tubo a partir da fórmula da frequência fundamental:
Resposta
Concluímos, portanto, que um tubo fechado com tais frequências de ressonância deveria ter , o que não é possível para o corpo humano, isto é, fica evidente que esse modelo não é uma boa aproximação para o trato vocal.