Um trem parte de uma estação com uma aceleração constante de 0,40 m/s². Uma passageira chega a um ponto junto ao trilho 6,0 s após o final do trem ter passado pelo mesmo ponto. Qual é a menor rapidez constante com que ela deve correr para ainda alcançar o trem? Em um único gráfico, plote as curvas posição versus tempo para o trem e a passageira.

Passo 1

Nesse problema a gente tem um trem e trens costumam ser beeeem grandes! Certo? Mas como o problema não fala o comprimento do trem a gente vai considerar ele desprezível! Beleza?!

Com isso em mente, vamos ver o que o problema fala:

O trem sai da posição x 0 = 0 no tempo t 0 = 0 s com uma aceleração constante de a t = 0,40   m / s 2 . Mas a passageira só chega na posição x 0 quando t = 6 s .

Vamos chamar de “crítico” o momento em que a passageira alcança o trem. Então isso acontece em t c , neste momento a passageira esta com v p c em x p c e o trem tem v t c e esta em x p c .

Mas se a gente ta falando que a passageira vai alcaçar o trem, logo:

x p c = x t c

Vamos imaginar o momento que a passageira encontra o trem como um espaço infinitesimal, naquele momento critico tanto a passageira quanto o trem percorrem esse mesmo espaço pequenininho em um mesmo tempo.

Olhando a definição de velocidade instântanea:

v = d x d t

Logo:

v p c = v t c

O trem esta em um movimento acelerado e x t c pode ser escrito como:

x t c = a 2 t c     2

Já para a passageira:

x p c = v p c ( t c - ∆ t )

a 2 t c     2 = v p c ( t c - ∆ t )

v p c = a 2 t c     2 t c - Δ t

Passo 2

Se a gente parar pra pensar o que tem que acontecer para a passageira encontrar o trem é que ela tem que correr a mesma distância que o trem ( Δ x ) mas ela tem que fazer isso usando 6 s a menos.

Se a gente igualar as equações de posição que vimos no Passo 1, não vamos chegar em lugar nenhum, pois temos as informações necessárias.

O que a gente pode fazer é escrever a velocidade média do trem:

v m é d = Δ x Δ t = x t c - 0 t c - 0 = x t c t c = x p c t c

Mas se a aceleração é constante, também podemos dizer que a v m é d i a é a média da sua velocidade inicial e final, certo?

v m é d = 0 + v t c 2 = v t c 2

Agora podemos igualar as duas expressões :

x p c t c = v t c 2

Isolando x p c :

x p c = v t c 2 t c

Igualando a expressão para x p c que escrevemos no Passo 1:

v t c 2 t c = v p c ( t c - ∆ t )

A passageira só vai alcançar o trem se ela estiver na mesma velocidade que ele, logo:

v p c = v t c

Então fazemos:

v t c 2 t c = v t c ( t c - ∆ t )

Arrumando:

t c = 2 Δ t

Para Δ t = 6   s

t c = 2 × 6 = 12   s

Passo 3

Agora que a gente conhece t c , podemos calcular v t c :

v t c = a t × t c

Só relembrando que v t c = v p c e a t = 0,40   m / s :

v p c = v t c = 0,40 × 12 = 4,8   m / s

Finalmente:

v p c = 4,8   m / s

Uhuuuuul!!!

Passo 4

Agora temos que plotar as curvas da posição em função do tempo, para isso temos:

x t = a 2 t 2

Substituindo os valores:

x t = 0,4 2 t 2

Ficamos com:

x t = 0,2   t 2

Já para a passageira:

x p = v p c ( t - ∆ t )

Substituindo v p c e Δ t :

x p = 0,48 ( t - 6 )

Arrumando:

x p = 0,48 t - 2,88

Agora é só plotar o gráfico! Ele fica assim:

Resposta

v p = 4,8   m /

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