Enunciado
Física - Física de Sears & Zemansky: Mecânica Volume 1 - 12ª Edição - Hugh D. Young e Roger A. Freedman- Ed: 12º - Capítulo 1.10 - Ex. 52a
a) Use componentes de vetores para provar que dois vetores são comutativos tanto para soma quanto para produto escalar.
Passo 1
Faala ae! Beleza??
Primeiro, vamos lembrar o que diz a propriedade da comutatividade. Ela diz que a ordem dos fatores não altera o resultado. Como assim?? Então, isso acontece na soma e na multiplicação. Vamos ver um exemplo na soma:
Certo? Mas e se a gente mudar a ordem do 1 e do 2? Assim:
A gente pode ver que o resultado não mudou!! Independentemente da ordem dos números, o resultado continuou o mesmo. Isso é a comutatividade!! O mesmo acontece para a multiplicação:
E:
Beleza? Como a gente pode botar isso num caso geral? Bom, na soma, seria algo assim:
Onde e são números quaisquer, beleza? E no produto:
Show?? Agora sabemos o que queremos provar hehe. Bora lá!
Passo 2
O problema quer que provemos a comutatividade para a soma entre dois vetores quaisquer. Bom, então, vamos pegar dois vetores e . Em que:
Beleza? Onde e são números, representando as componentes dos vetores.
Se os vetores e são comutativos por adição, a gente espera que:
Que foi o que vimos no passo anterior, certo?
Então, se substituirmos as componentes dos vetores nessa igualdade, temos que:
E
Como vimos no passo anterior, os números são comutativos para a soma, isto é, a ordem deles não vai mudar o resultado!! Então:
E:
Certo?? Logo, por comparação, vemos que as duas somas dos vetores são iguais!! Assim:
Então, é comutativo.
Passo 3
E se esses vetores são comutativos por produto escalar, esperamos que:
Assim, seguimos o mesmo raciocínio para calcular a comutividade no produto escalar:
E
Como os números são comutativos para produto, também, a ordem deles não vai importar:
E:
Então, é comutativo. Beleza??
O raciocínio das duas provas são bem parecidos mesmo! 😊
Entendeu tudo? Responde Aí! 😉
Resposta
Explicação no passo a passo.