Você projetou um foguete para coletar amostras de ar poluído. Ele é disparado verticalmente com uma aceleração constante, para cima, de 20 m/s². Depois de 25 s, o motor é descartado e o foguete continua subindo (em queda livre) por um tempo. (A resistência do ar é desprezível.) Finalmente, o foguete para de subir e passa a cair de volta para o solo. Você deseja coletar uma amostra de ar que está 20 km acima do solo. (a) Você conseguiu atingir a altura desejada? Caso negativo, o que você deverá modificar para o foguete atingir os 20 km? (b) Determine o tempo total de vôo do foguete. (c) Encontre a rapidez do foguete justo antes de atingir o solo.

Agora vamos pensar no segundo estágio. Temos também a aceleração constante, a da gravidade. Mas dessa vez não sabemos quanto tempo o foguete continuou subindo enquanto estava apenas sobre o efeito da gravidade.

Dessa forma, vamos usar uma expressão que dá o deslocamento do foguete, mas que não depende do tempo. Essa aqui:

Sendo que essa é a velocidade no inicio do percurso sem motor, ou seja, é a velocidade no final do percurso com motor. Assim, é a velocidade no final do primeiro estágio. Podemos encontra-la a partir da expressão

Lembra que a velocidade inicial para o percurso com motor é nula:

Agora vamos pensar na velocidade final do percurso sem motor, . Ela é a velocidade no ponto mais alto quando o foguete está somente sobre ação da gravidade, então vai ser nula

Substituindo essas duas coisinhas na expressão de :

Lembrando que a aceleração em 2 é (negativa porque está para baixo):

Agora a gente pode achar a expressão da altura atingida pelo foguete. Temos:

Substituindo o que achamos:

Substituindo os dados do enunciado e sabendo que :

O foguete não atingiu os 20 km necessários. Uma alternativa para ir mais alto seria aumentar a aceleração ou o tempo de aceleração.

b) O tempo total de vôo é dado por:

O tempo do primeiro estágio a gente já tem,

O do segundo a gente pode achar usando a expressão que relaciona velocidade e tempo decorrido quando a gente tem uma aceleração constante (que no nosso caso é a gravidade). Essa aqui:

Percebe que a velocidade inicial desse movimento é , a velocidade final do estágio com motor.

Já temos a expressão para para (do passo 2) e sabemos que . Vamos substituir:

E podemos lembrar que é a velocidade na altura máxima, então

Assm, temos:

Esse é aquele tempo inicial de , tá? Que é referente ao estágio 1,

O tempo de queda pode ser achado pela expressão para aceleração constante também, que relaciona tempo e deslocamento, para o terceiro estágio:

Percebe que aqui, a velocidade inicial é a velocidade no ponto mais alto, logo

E a aceleração continua sendo a gravidade . E o deslocamento vai ser a distância percorrida ao foguete cair. Ele vai cair que distância? A distância que ele subiu! Então

Negativo porque o foguete desceu. Assim, nossa expressão fica:

Esse é o tempo de queda do terceiro estágio:

Agora vamos substituir tudo que a gente tem na expressão do tempo total:

Substituindo as equações, temos:

c) A velocidade final do foguete é dada por:

Que é a relação entre tempo e velocidades quando a gente tem aceleração constante.

Sabemos que é nula porque essa é a velocidade na altura máxima, logo temos:

Esse é intervalo de tempo decorrido no terceiro estágio. Temos a expressão para ele também:

Substituindo:

Esse sinal de menos representa que a velocidade está para baixo, belezinha?