64 . A constante elástica de uma suspensão de automóvel cresce com o aumento de carga por causa de uma mola que é mais larga na parte inferior, estreitando-se suavemente a um diâmetro menor perto da parte superior. O resultado é uma viagem mais suave em estradas com superfícies normais em razão das molas mais largas, mas o carro não alcança o ponto mais baixo em solavancos porque quando as molas inferiores se recolhem, as molas mais duras perto do topo absorvem a carga. Para tais molas, a força exercida pela mola pode ser empiricamente determinada por F   =   a x b . Para uma mola espiral estreitada que comprime 12,9   c m com uma carga 1000   N , e 31,5   c m com uma carga de 5   000   N , avalie as constantes a e b na equação empírica F e encontre o trabalho necessário para comprimir a mola 25,0   c m .

Passo 1

Esse exercício tem um enunciado grande, mas ele em si não é extenso e pode ser bastante simples.

O que vamos precisar lembrar pra resolver ele é o trabalho que é dado por:

W = F ⋅ x

De resto vamos só substituir os valores que o enunciado nos dar em F   =   a x b , fazer um sisteminha e descobrir os valores de a e b . Tudo certo? Então vem comigo!

Passo 2

Usando a equação nos dar vamos criar um sistema com duas equações:

  F 1 = a x 1 b F 2 = a x 2 b

Substituindo os com os valores presentes do enunciado temos:

  1000   N = a 0,129   m b ⇒   a = 1000   N 0,129   m b                                                                                     5000   N = a 0,315   m b   ⇒ 5000   N = 1000   N 0,129   m b 0,315   m b                          

5000   N = 1000   N 0,315   m 0,129   m b ⇒ 5 = 2,44 b

Aplicando l n em ambos os lados:

ln ⁡ 5 = ln ⁡ 2,44 b = b ln ⁡ 2,44     ⇒     b = ln ⁡ 5 ln ⁡ 2,44 = 1,8

Substituindo b na primeira equação do nosso sistema:

a = 1000   N 0,129   m 1,8 ~   40000

Passo 3

Para achar o trabalho necessário para comprimir a mola em 25,0   c m vamos usar os valores de a e b que conseguimos no item anterior para achar F , ou seja:

F = 40000 ⋅ 0,25 1,8   ~   3300   N

O trabalho necessário será:

W = 3300   N ⋅ 0,25 = 825   J

Resposta

a = 4000

b = 1,8

W = 825   J

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