Uma esfera sólida de massa m e raio r rola sem escorregar ao longo da pista mostrada na Figura P10.83. Ela começa do repouso com o ponto mais baixo da esfera na altura h acima da base do aro de raio R , muito maior que r .

  1. Qual é o valor mínimo de h (quanto ao R ) para que a esfera complete o aro?
  2. Quais são as componentes da força da esfera no ponto P se h   =   3 R ?

Passo 1

E aiii gente, tudo bem com vocês?

Vamos fazer uma questãozinha aqui?

Vem comigo!

Letra a:

Δ K rot  + Δ K trans  + Δ U = 0

A conservação de energia nos dá:

m g h = m g 2 R + 1 2 m v 2 + 1 2 I ω 2

Para uma esfera:

I = 2 5 m r 2   e   v = r ω

g h = 2 g R + 7 10 v 2                             ( 1 )

Observe que h = h m i n quando a velocidade da esfera no topo do loop satisfaz a condição

∑ F = m g = m v 2 R   ou   v 2 = g R

Substituindo isso na equação [1] dá:

h m i n = 2 R + 0.700 R   ou   h m i n = 2.70 R

Passo 2

Letra b:

Quando a esfera está inicialmente em h = 3 R e finalmente no ponto P, a conservação de energia nos dá:

m g 3 R = m g R + 1 2 m v 2 + 1 5 m v 2 ,   ou   v 2 = 20 7 R g

Em y temos:

∑ F y = m a y → f - m g = - m α r

∑ τ = I α → f r = 2 5 m r 2 α

α = 5 g 7 r   então ∑ F y = - 5 7 m g

Resposta

  1. h m i n = 2.70 R
  2. - 5 7 m g
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