58 . Mostre que o período mínimo de um satélite em órbita em torno de um planeta esférico de densidade uniforme ρ é T m í n = 3 π G ρ independente do raio do planeta.

Passo 1

Vem comigo que a gente detona essa juntos!

Para mostrarmos oque o enunciado quer, temos que lembrar que em uma órbita circular a força resultante é igual a força centrípeta, no caso do enunciado a força resultante é a força gravitacional, assim:

m v 2 r = G M m r 2

E vamos também usar o fato de que como temos um movimento circular a velocidade tangencial é dada por:

v = ω r

E que ω é dado por:

ω = 2 π T

Agora vamos juntar tudo o que temos!

Passo 2

Juntando tudo, temos:

m r 2 π T r 2 = G M m r 2

⇒ 4 π 2 T 2 r = G M r 2

⇒ 4 π 2 T 2 = G M r 3

Assim temos que:

T = 4 π 2 r 3 G M

Passo 3

Agora como o enunciado nos deu a densidade de massa do planeta, podemos escrever que M = ρ V , mas como o planeta é esférico, temos que:

V = 4 3 π r 3

Assim temos que o período é dada por:

T = 4 π 2 r 3 G ρ 4 3 π r 3

⇒ T = 3 π G ρ

Chegamos aonde o enunciado queria!

Resposta

Demonstrado acima.

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