Enunciado
Física - Príncipios de física - Serway - Princípios De Física: Mecânica Clássica e Relatividade - Ed: 5º - Capítulo 11.Problemas - Ex. 58
Mostre que o período mínimo de um satélite em órbita em torno de um planeta esférico de densidade uniforme é independente do raio do planeta.
Passo 1
Vem comigo que a gente detona essa juntos!
Para mostrarmos oque o enunciado quer, temos que lembrar que em uma órbita circular a força resultante é igual a força centrípeta, no caso do enunciado a força resultante é a força gravitacional, assim:
E vamos também usar o fato de que como temos um movimento circular a velocidade tangencial é dada por:
E que é dado por:
Agora vamos juntar tudo o que temos!
Passo 2
Juntando tudo, temos:
Assim temos que:
Passo 3
Agora como o enunciado nos deu a densidade de massa do planeta, podemos escrever que , mas como o planeta é esférico, temos que:
Assim temos que o período é dada por:
Chegamos aonde o enunciado queria!
Resposta
Demonstrado acima.