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Enunciado

Física - Príncipios de física - Serway - Princípios De Física: Mecânica Clássica e Relatividade - Ed: 5º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 51

Raios cósmicos de mais alta energia são prótons que possuem a energia cinética na ordem de 10 13   M e V . (a) Conforme medido no referencial do próton, qual intervalo de tempo um próton com essa quantidade de energia exigiria para viajar através da Via Láctea, que possui um diâmetro próprio de ~ 10 5 anos-luz? (b) Do ponto de vista do próton, quantos quilômetros de diâmetro a galáxia tem?

Passo 1

E aiii gente, tudo bem com vocês?

Vamos fazer uma questãozinha aqui?

Vem comigo!

A energia cinética relativística de tal próton é:

K = ( γ - 1 ) m c 2 = 10 13 M e V

Sua energia de descanso é:

m c 2 = 1.67 × 10 - 27 k g 2.998 × 10 8 m s 2 × 1 e V 1.60 × 10 - 19 k g ⋅ m 2 s 2

= 938 M e V

Portanto, 10 13 M e V = γ - 1 938 M e V e, portanto, γ = 1.07 × 10 10 . A velocidade do próton no referencial da galáxia pode ser encontrada a partir de:

γ = 1 1 - u 2 c 2

1 - u 2 c 2 = 8.80 × 10 - 21

u = c 1 - 8.80 × 10 - 21 ≈ 1 - 4.40 × 10 - 21 c ≈ 3.00 × 10 8 m s

A velocidade do próton é quase tão grande quanto a velocidade da luz. No referencial da galáxia, o tempo de percurso é:

Δ t = x u = 10 5   anos luz c = 10 5   anos

Passo 2

Letra a:

Este é dilatado a partir do tempo adequado medido no referencial do próton. O intervalo de tempo adequado é fornecido a partir de Δ t = γ Δ t p :

Δ t p = Δ t / γ = 10 5 a n o s / 1.07 × 10 10 = 9.38 × 10 - 6 a n o s   = 296 s Δ t   ~ 10 2   o u   10 3 s

Passo 3

Letra b:

O próton vê a galáxia se movendo a uma velocidade quase igual a c, passando em 296 s:

Δ L referencial do pr óton = u Δ t p = 3.00 × 10 8 m / s ( 296 s ) = 8.88 × 10 7 k m ∼ 10 8 k m

Δ L referencial do pró ton = 8.88 × 10 10 m 1 l y 9.46 × 10 15 m = 9.39 × 10 - 6 a n o s   l u z ∼ 10 - 5 a n o s   l u z

Resposta

  1. Δ t   ~ 10 2  ou  10 3 s
  2. 10 - 5 a n o s   l u z
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