49 . Suponha que você seja ágil o suficiente para correr através de uma superfície horizontal a 8,50   m / s , independentemente do valor do campo gravitacional. Qual seria ( a ) o raio e ( b ) a massa de um asteroide esférico no vácuo de densidade uniforme 1,10 × 10 3   k g / m 3 em que você poderia lançar-se em órbita com sua corrida? ( c ) Qual seria seu período? ( d ) Sua corrida afetaria significativamente a rotação do asteroide? Explique.

Passo 1

Vamos juntos para cima dessa questão!

Um asteroide tem formato esférico, então a massa do esteroide pode ser encontrada multiplicando a densidade dele por seu volume, que no caso é de uma esfera, assim:

M = 4 3 π r 3 ρ

Para acharmos o raio dele, vamos lembrar que em um movimento orbital podemos considerar uma trajetória circular onde a força resultante dada pela força gravitacional é igual a força centrípeta, assim:

m v 2 r = G M m r 2

⇒ r = G M v 2

Substituindo a expressão para M nessa podemos calcular o raio, tendo ele a gente calcula M e depois podemos calcular o período dado por:

T = 2 π r v

Vamos lá!

Passo 2

Vamos atrás de r que é pedido em ( a ) . Temos:

r = G M v 2

Substituindo a expressão de M , temos:

r = G v 2 4 3 π r 3 ρ

⇒ r 2 = 3 v 2 4 G π ρ

⇒ r = 3 v 2 4 G π ρ

Substituindo os valores que conhecemos, temos:

r = 3 ( 8,5 ) 2 4 ( 6,674 × 10 - 11 ) π ( 1,1 × 10 3 )

= 216,75 9,22 × 10 - 7

Assim temos que:

r = 15332,5   m

Passo 3

Agora vamos atrás da massa que o item ( b ) quer.

Temos que:

M = 4 3 π ( 15332,5 ) 3 ( 1,1 × 10 3 )

⇒ M = 1,66 × 10 16   k g

Passo 4

Agora vamos atrás do período T que o item ( c ) quer, temos:

T = 2 π ( 15332,5 ) 8,5

⇒ T = 1,13 × 10 4   s

Passo 5

Por último o item ( d ) .

Bem, olhando a massa que encontramos para o asteroide, ela é tremendamente maior que a massa de qualquer pessoa, então o efeito da nossa corrida afeta de forma bem insignificante da rotação desse asteroide.

Questão finalizada com sucesso!

Resposta

( a )

r = 15332,5   m

( b )

M = 1,66 × 10 16   k g

( c )

T = 1,13 × 10 4   s

( d )

Explicado acima.

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