Lei de Biot-Savart Geral

O campo magnético de uma distribuição continua de corrente é dado pela Lei de Biot-Savart:

Para sabermos quais segmentos dão uma contribuição não nula para o campo magnético resultante do ponto C precisamos analisar o produto vetorial para cada segmento.

Para o segmento I os vetores e são antiparalelos, ou seja, formam um ângulo de e nesse caso:

Para o segmento VI os vetores e são paralelos, ou seja, formam um ângulo de 0° e nesse caso:

De maneira geral, podemos mostrar que segmentos retilíneos que estão alinhados na direção não contribuem para o campo, pois:

Desse modo, temos que os segmentos I e VI possuem contribuições NULAS para o campo no ponto C, assim já eliminamos as alternativas b, d, e.

Para os demais segmentos (II, III, IV, V e VII) os vetores e não estão alinhados de modo que:

Assim, o campo produzido por esses segmentos no ponto C é não nulo. Desse modo, eliminamos a letra c e já temos nossa resposta. =)

Pela lei de Biot-Savart:

Primeiramente fazemos os produtos vetoriais dos fios retilíneos e mostramos que eles fazem campo nulo:

Agora vamos fazer os segmentos circulares. Sabemos que em cada um deles temos constante e a corrente também:

Seja o sentido saindo da tela. Fazendo o produto vetorial para um segmento semicircular genérico:

Temos:

O comprimento é um quarto de circunferência:

Portanto, para cada um dos segmentos temos:

Agora queremos saber quem dá mais. Como:

Segue:

Multiplicando ambos os lados por :

Ou seja, o segmento V é quem dá mais.

É a Lei de Biot-Savart que nos dá a fórmula para calcular campo magnético produzido por uma corrente né?

É ela que vamos usar!!

Mas pera, vamos analisar primeiro os segmentos retilíneos e depois os segmentos semicirculares, beleza?

Então bora analisar os segmentos retilíneos.

Para os dois segmentos retilíneos os vetores  e , para o cálculo do campo no ponto P, estão alinhados, ou seja, o ângulo entre eles é ou . Para esses casos podemos mostrar que:

Então, os segmentos retilíneos não contribuem para o campo no ponto P.

Agora, nos resta analisar os segmentos semicirculares. Para achar o campo produzido por cada um desses segmentos no ponto P precisamos calcular essas quatro integrais.

SÉRIO?? :/

Calma! O truque neste caso é se aproveitar da simetria.

Vamos analisar primeiro o campo produzido por um par de segmentos semicirculares que estão um frente ao outro. Podemos aplicar a lei de Biot-Savart sobre todo o comprimento dos dois segmentos e teremos esse resultado:

Pela figura podemos perceber que os campos produzidos por cada segmento possuem a mesma direção, mas sentidos opostos.

Note também que a corrente que passa pelos dois segmentos é a mesma, o comprimento dos dois segmentos é o mesmo e a distância dos segmentos para o ponto P também é a mesma, pois o ponto P é o centro da semicircunferência. Então nós temos que o módulo dos campos produzidos é o mesmo.

Então os campos se anulam e o campo resultante desse par será zero no ponto P.

Analogamente, o outro par vai zerar também.

Logo, o campo total é:

Bom, fio circular é com Biot-Savart. Enunciando a Lei:

Mostramos que os segmentos retilíneos não contribuem com campo pois o produto vetorial de dois vetores paralelos é nulo:

Agora vamos fazendo o produto vetorial para cada um dos segmentos semicirculares

O menor fica:

Analogamente o maior fica:

Somando:

Arrumando:

A espira tem mais ou menos essa cara aqui:

Pra resolver a nossa vida aqui, vamos usar a Lei de Biot-Savart, que nos diz que:

Vamos fazer o seguinte então... vamos calcular um campo magnético para o fio vertical e um campo magnético para o fio horizontal. Feito isso, é só multiplicarmos por dois.

Vou começar pelo fio vertical de comprimento . Vamos adotar a seguinte orientação:

Dessa forma:

Agora precisamos resolver a parte do :

Vamos quebrar um pouco a cabeça aqui...

Ah! Como chamamos a direção vertical de , ao invés de usar , vou usar .

Geometricamente falando:

Ou seja:

Agora sim... montando a integral da Lei de Biot-Savart:

O módulo do campo vai ser então

Ajeitando isso aqui...

Então, agora nós faríamos para o fio horizontal... mas concorda que o raciocínio seria o mesmo? Trocando apenas o pelo ...

Seguindo o pensamento, para o fio horizontal:

Como se tratam de dois fios verticais e dois horizontais, o campo magnético resultante é dado por:

Vamos colocar o que der em M.M.C. pra tentar organizar essa bagaça...

Por último...

ACABOU!

(a) Contribuição dos segmentos retilíneos de comprimento .

Aqui, vamos aplicar a lei de Biot-Savart, que é dada por:

Bem, vamos começar olhando para a figura abaixo:

Daí a gente já consegue concluir que, tanto para o segmento retilíneo da esquerada, como para o da direita, temos que:

já que esses vetores são paralelos entre si. Isso significa que esses segmentos não contribuem para o campo magnético em .

(b) Contribuição da semicircunferência de raio .

Já para a semicircunferência, podemos concluir da figura que:

Substituindo na expressão de , temos:

Integrando:

Se usarmos a regra da mão direita para determinar direção e sentido do campo, vemos que ele é perpendicular ao plano da folha e aponta para dentro dela.

(c) Contribuição de todo o fio.

A contribuição total é a soma de todas as contribuições. Mas como o campo em gerado pelos dois segmentos de reta é nulo, o campo magnético total em vai ser aquele calculado no item (b), dado por:

A figura abaixo representa a configuração dada no enunciado.

Vamos utilizar a lei de Biot-Savart para encontrar o campo magnético . Temos que:

já que o ângulo entre os vetores e é igual a .

Precisamos, agora encontrar uma relação de com o ângulo , já que os dois estão variando com . Para isso, vamos olhar para o triângulo retângulo abaixo:

Da figura, a gente pode concluir que

E também que

Agora, precisamos relacionar o ângulo com o raio . Temos que:

Vamos substituir todas as relações encontradas no Passo 2 na expressão de :

Agora, já podemos integrar a expressão do Passo 3 para encontrar o módulo do campo magnético . Mas antes vamos checar os limites de integração. Se a gente olhar para as duas figuras, vemos que o ângulo varia, na verdade, de até . Serão esses, então, os nossos limites. Vamos lá:

(a) O campo magnético (módulo, direção e sentido) na origem devido ao segmento .

Bom, vamos lá. Para começar, vamos relembrar o que a lei de Biot-Savart nos diz. Temos:

onde o vetor aponta na direção da corrente e aponta para onde queremos medir o campo, respectivamente. Além disso, é a distância até o ponto no qual o campo será medido. Beleza? Vamos adiante.

No item (a), queremos medir o campo na origem gerado pelo segmento . Vamos olhar para a figurinha abaixo.

Bem, da figura, podemos concluir que a distância à origem de um elemento de corrente infinitesimal é dada por:

Vamos calcular também o seno de , para quando fizermos o produto vetorial . Temos:

Pra finalizar, vemos que é, na verdade, .

Agora podemos reescrever a equação de Biot-Savart com as informações que a gente obteve acima. Saca só:

O sentido e direção de podem ser obtidos pela regra da mão direita! Bem, como aponta para baixo e tem a direção da reta tracejada da figura, apontando para a origem, irá apontar para dentro da página, ou seja, no sentido negativo do eixo .

Por fim, para obter , integramos a equação acima. Lembrando que varia de até , que é o comprimento de . Temos:

Agora precisamos resolver essa integral! Para isso, fazemos a seguinte substituição de variáveis:

Para , e para , .

A integral resultante vai ser:

(b) O campo magnético (módulo, direção e sentido) na origem devido ao segmento .

Agora, vamos para o item (b). Nesse caso, os vetores e tem a mesma direção. Isso significa que , pois o seno do ângulo entre eles é nulo. Isso significa que

(c) O campo magnético (módulo, direção e sentido) na origem devido ao arco .

Agora só falta calcular a contribuição do arco , certo? Estamos quase lá! Nesse caso, a distância à origem é sempre constante e igual a . Além disso, o ângulo entre e é reto. Pela regra da mão direita, o campo na origem aponta para fora, no sentido positivo de .

Temos:

(d) O campo magnético total (módulo, direção e sentido) na origem .

O campo magnético total na origem será: