Teoria

O que é MHS?

MHS significa Movimento Harmônico Simples.

O que isso quer dizer?

Movimento harmônico é um movimento oscilatório, ou seja, que apresenta algumas propriedades que se repetem com o tempo (como a posição x ( t ) , a velocidade v ( t ) , aceleração a ( t ) , etc).

A estrutura de um movimento harmônico sempre vai ser dada por funções seno ou cossenos (isso que vai gerar as repetições). Por exemplo:

x t = 2 cos ⁡ 3 t

y t = sen ⁡ t

E por que se chama movimento harmônico simples?

Movimento harmônico simples significa que é um movimento harmônico que não tem atrito. Existem ainda os MHAs, que são movimentos harmônicos amortecidos. Mas não se preocupe com eles agora.

Equação do MHS

Como a gente viu, a equação do MHS vai ser ou uma função seno ou uma função cosseno.

No geral, ela vai ter o seguinte formato:

x t = A c o s ω t + φ

Ou:

x t = A s e n ( ω t + φ )

Essa é a chamada equação da posição de um MHS.

Nessa equação, temos:

A : Representa a amplitude do movimento.

ω : Representa a frequência angular.

φ : Representa a fase do movimento.

Mas o que significa cada uma dessas coisas?

Bom, nós vamos entender melhor nos exercícios, mas por ora, basicamente temos o seguinte:

A : É o maior “afastamento” possível que o objeto que está executando o MHS pode ter da origem.

ω : É uma espécie de velocidade angular. É dada em r a d / s . A expressão geral pra ela é:

ω = 2 π T = 2 π f

Onde T é o período do movimento, ou seja, o tempo de um ciclo total.

A frequência é o inverso do período:

f = 1 T

φ : É o ângulo inicial do movimento. Tem a ver com a posição inicial do objeto.

Velocidade e aceleração

E como são as equações da velocidade e da aceleração pros MHS?

Muito simples, basta a gente derivar (:

Derivando uma vez:

x t = A c o s ω t + φ → d x t d t = - ω A s e n ( ω t + φ )

v t = - ω A s e n ω t + φ

Repare que, como o seno varia entre -1 e +1, então temos a velocidade máxima:

v m a x = ω A

E o objeto fica variando entre as velocidades ω A e - ω A .

Para a aceleração, derivamos outra vez:

d v t d t = - ω 2 A c o s ω t + φ

A aceleração máxima é:

a m a x = ω 2 A

Defasagem entre a velocidade e aceleração

Aqui vamos ver que existe uma defasagem entre as funções seno e cosseno.

Exemplo:

Quando cos ⁡ 0 = 1 , temos que s e n 0 = 0 .

Ou quando s e n π 2 = 1 , temos que cos ⁡ π 2 = 0 .

Isso quer dizer que as funções estão defasadas por π 2 .

Isso também vai acontecer com a velocidade e com a aceleração:

  • Quando a aceleração for máxima, a velocidade será mínima (zero).
  • Quando a velocidade for máxima, a aceleração será mínima (zero).

Posições de velocidade nula e aceleração nula

Vamos tentar descobrir as posições onde a velocidade de um MHS torna-se nula intuitivamente. Veja a figura:

A bolinha azul está se movendo para a esquerda, em MHS, com velocidade não nula. Pra completar o Ciclo do MHS, ela deve chegar até a extremidade esquerda e voltar.

Onde a velocidade se anulará então?

No extremo - A , pois ali a velocidade muda de sentido.

Isso acontece também pro extremo direito. Então, podemos dizer que:

v x = A = v x = - A = 0

Show?

Bom, como vimos antes, onde há um mínimo de velocidade há um máximo de aceleração. Assim:

A aceleração será máxima em x = A e x = - A .

Vamos analisar de novo o movimento da partícula. Como a velocidade se anula nas extremidades, temos que o valor inicial dela, em x = A , seja 0, e em x = - A também. Porém, ela se move nessa trajetória, logo, a partir das extremidades a velocidade tende a crescer.

Onde ocorre o máximo da velocidade?

Em x = 0 .

Pelos motivos que vimos antes, a aceleração se anula em x = 0 .

Olha o resuminho bizu!!!

Bora fazer uns exercícios disso aí (:

Velocidade e aceleração

Defasagem entre a velocidade e aceleração

Posições de velocidade nula e aceleração nula

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