MHS + Colisões
Teoria
Falaaa aí galerinha bonita, xuxu beleza?! Hoje vamos aprender um pouquinho sobre sistemas onde ocorrem colisões seguidas de um Movimento Harmônico Simples (ou MHS para os mais íntimos).
A gente já viu como se comportam sistemas onde correm colisões normais, elásticas e inelásticas, como por exemplo as bolas de sinuca colidindo elasticamente umas com as outras, ou também um pivete jogando um chiclete que colide inelasticamente e gruda em um motoqueiro. Mas beleza, e agora se a gente tivesse um projétil sendo disparado contra um bloco preso a uma mola, igual na figura abaixo:
Se o projétil colidisse inelasticamente com o bloco, de maneira que os dois permanecessem juntos após a colisão, como o sistema se comportaria?!
Então calma lá chefia, porque saca só, se o projétil colide com o bloco de forma que os dois permanecem juntos, isso quer dizer que os dois entrarão em movimento unidos com a mesma velocidade e energia cinética , até a mola absorver toda essa energia cinética e transformar em energia potencial elástica , tal que:
Em consequência disso, a energia potencial elástica armazenada na mola, voltará a acelerar o sistema bloco-projétil, só que agora pro outro sentido, de forma que ele passará pelo ponto de equilíbrio, até atingir um ponto simétrico do outro lado do movimento, com a mesma amplitude, logo:
Ou seja, a partir desse ponto, o conjunto bloco-mola, passa oscilar periodicamente, executando um MHS de amplitude .
Belejóia, então nesse caso precisamos saber com que velocidade o conjunto bloco-projétil começa o movimento, e qual a amplitude desse movimento. Ai é que entra nossos dois digníssimos conceitos da física, chamados:
- Conservação do Momento Linear
- Conservação da Energia Mecânica
Bora lá dar uma olhadinha mais de perto neles.
Conservação do momento Linear
Vamos supor que o projétil tenha massa e velocidade , enquanto o bloco possui massa , logo:
Por convenção, tomamos o sentido para a direita como positivo. Dessa forma, quando os dois colidem, o sistema passa ter a seguinte configuração:
E a malandragem aqui, é que exatamente nesse instante podemos usar a conservação do momento linear para descobrir a velocidade final que o conjunto bloco-projétil assume no início do MHS.
De forma que pela conservação do momento linear, vamos obter que:
Ou seja, o momento linear inicial é igual ao momento linear final , logo:
Sendo assim, isolando :
E assim conseguimos descobrir a velocidade final do conjunto bloco-projétil. Essa é a velocidade que o sistema inicia o MHS.
Conservação da energia e MHS resultante
Belezoca pessoal, agora pra gente descobrir a amplitude desse movimento, podemos usar a conservação da energia mecânica, dada como:
Ou seja, a energia mecânica , é igual a soma da energia cinética com a energia potencial . Agora saca só, no ponto onde a mola está comprimida/esticada o seu máximo, temos uma deformação de tamanho , isso quer dizer que para uma mola de constante elástica , a sua energia mecânica total será:
Já a energia cinética, no ponto onde ela é máxima, teremos que:
A malandragem agora, é que nesse momento, quando a energia cinética é máxima, a energia potencial elástica é mínima, afinal a mola está em seu estado mais relaxado. Sendo assim, nesse momento, teremos que:
Logo:
Portanto, isolando amplitude do MHS, teremos que:
E o legal disso tudo, é que podemos lembrar lá dos termos do MHS, como por exemplo a frequência angular . Em um sistema massa-mola, de constante elástica e massa , a frequência angular é dada como:
Então na nossa equação para a amplitude, o termo , é o inverso da frequência angular do sistema:
Tal que:
Maaaaas, também podemos expressar a amplitude em termos da velocidade inicial , se a gente substituir o valor de na equação inicial, teremos que:
Logo:
Ou seja, se a gente possuir somente o valor das massas, da velocidade inicial e da constante elástica da mola, conseguiremos determinar a velocidade final e a amplitude do MHS. Além disso, ainda podemos relacionar essas grandezas com alguns termos do MHS como a frequência angular .
Show de bolinhas pessoal?! Então bora lá fazer uns exercícios sobre isso pra ver se a gente é ASTRONAUTA mesmo.
Conservação do momento Linear
Conservação da energia e MHS resultante
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Um bloco de massa , em repouso numa mesa horizontal sem atrito, é ligado a um suporte rígido por duas molas de constante elástica e , de modo que . Uma bala bala Juquinha, de preferência... pra quê falar de mais violência 
De posse dessas informações, determine a velocidade do conjunto imediatamente após a colisão e a amplitude do movimento harmônico simples associado.
(Obs.: Dica do Dexter 
– Confira o nosso material de associação de molas)
Passo 1
Beleza....Vamos resolver logo essa parte da velocidade que é de boas....Vamos relembrar a conservação de momento linear para colisões que vimos lááá nas priscas eras de Física 1.
Antes da colisão, a bala Juquinha tinha velocidade e o bloco tinha velocidade nula, logo, o momento linear inicial é:
Após a colisão, tanto o bloco quanto a bala Juquinha se deslocam com a mesma velocidade
Como :
E essa é a velocidade do conjunto logo após a colisão!
Passo 2
Show de bola! Já calculamos a velocidade linear do conjunto logo após a colisão. Precisamos calcular agora qual será a amplitude do movimento oscilatório do conjunto. E aí??? Será que deu ruim??? 
Sabe como vamos resolver esse problema, jovem padawan? Usando a Força? (Quem pegou a referência de Star Wars aí?)
Mais do que isso! Usaremos a Energia! Bom, mais precisamente a conservação dela 
.
Vamos considerar como início do movimento o momento em que a bala atinge o bloco. Nesse momento, a mola ainda não se comprimiu, certo? Looogo, a energia mecânica é só a energia cinética “recém-adquirida” pela colisão da bala:
Bom, e depois? Depois disso, o bloco vai comprimir a mola pouco a pouco, até que essa atinja uma compressão máxima. Essa compressão máxima será a amplitude do movimento
Belezinha... Assim, no final das contas (estamos chegando no final delas mesmo), a energia mecânica vai ser puramente energia potencial elástica:
Opa... Dexter mandou lembrar que .
Bom, como a energia se conserva, a energia mecânica inicial será igual à energia mecânica final:
Resposta
;
Exercício Resolvido #2
Imagine um experimento em que temos um carrinho de massa , inicialmente em repouso, preso a uma mola relaxada de constante elástica e que pode se deslocar sem atrito sobre uma mesa horizontal. Nesse experimento, um carrinho de massa se aproxima com uma velocidade e colide frontalmente com o primeiro carrinho. Após a colisão, que é completamente inelástica, os carrinhos passam a oscilar juntos.
Calcule a velocidade dos blocos logo após a colisão, a frequência angular de oscilação e a amplitude, , do movimento.
Passo 1
Bom, num primeiro momento a gente precisa se lembrar de um conceito lááá de Física 1...Lembra da conservação de momento linear? O quêêê??? Não se lembra??? Td bem, o Responde Aí está aqui pra isso 
Se nós voltarmos lá nos nossos assuntos de Conservação do Momento Linear e de Colisões, vamos ver que:
Passo 2
Para calcularmos a frequência angular de oscilação, basta nos lembrarmos que
Reparou no ali? Ele será a soma das massas dos dois carrinhos, ou seja, . Aí ficou fácil, né?
Show de bolinhas! Agora só falta calcular a Amplitude!!!
Bom...nós vamos matar isso por energia. 
Nós temos a velocidade máxima dos blocos, pois é aquela que eles têm logo após o impacto.
Então temos a energia cinética máxima. Basta a gente descobrir qual é a energia potencial máxima para descobrirmos a amplitude, pois:
E a energia cinética é:
E isso é igual a :
Resposta
Exercício Resolvido #3
Halliday e Resnick, Fundamentos de Física, Volume 2, 8ª edição, Cap 15, pp 107-14.
A figura abaixo mostra o bloco 1, de massa , deslizando para a direta, sobre uma superfície elevada, com uma velocidade de s. O bloco sofre uma colisão elástica com o bloco 2, inicialmente em repouso, que está preso a uma mola de constante elástica (Suponha que a mola não afete a colisão.) Após a colisão, o bloco 2 inicia um MHS com um período de e o bloco 1 desliza para fora da extremidade oposta da superfície elevada, indo cair a uma distância horizontal de dessa superfície, depois de descer uma distância de . Qual é o valor de ?
Passo 1
Bom, primeiro vamos dar uma resumida nesse enunciado aí! =p
De início, temos uma colisão elástica entre as massas 1 e 2, ambas sobre a superfície elevada. Depois disso, a massa 2 entra em MHS, enquanto a massa 1 cai da superfície elevada, percorrendo uma distancia horizontal , que é o que queremos achar.
Passo 2
Como o enunciado disse que a mola não afeta a colisão, nós podemos usar as fórmulas que nos dão as velocidades em uma colisão elástica.
Porém, antes disso, vamos achar a massa do bloco 2.
Como temos a frequência com que ele oscila após a colisão a e constante da mola, podemos fazer:
Só basta a gente calcular
Assim:
Passo 3
Agora vamos escrever a equação da conservação do momento pra essa colisão:
Além dessa, temos a equação da conservação da energia:
Show?? Temos duas incógnitas ali: (velocidades dos blocos após a colisão).
Vamos resolver o sistema acima, isolando na primeira equação e substituindo na segunda
Assim, na segunda equação fica
Agora, vamos fazer as contas e achar . Podemos já substituir e os valores das massas, também.
Abrindo esse produto notável
Chegando na equação
Temos as duas raízes e . Mas se valesse , isso implicaria que o bloco teria uma velocidade nula, o que sabemos, pelo enunciado, que não é verdade.
Excluindo a raiz negativa, encontramos pra
Passo 4
Agora é só cinemática!!!! Essa velocidade, , vai ser a velocidade do bloquinho 1 após a colisão. Como ele vai cair da mesa, essa vai ser a velocidade inicial do lançamento oblíquo.
Então, pra achar o alcance, vamos usar:
Onde é o tempo de queda. E como se calcula ele mesmo? Lembrando das fórmulas de lançamento oblíquo, a gente pode escrever:
Aplicando o valor da altura do enunciado:
Assim:
Resposta
Exercício Resolvido #4
PUCRIO-P1-2013.2-Q2
Um bloco de é unido a uma mola e colocado em uma superfície horizontal sem atrito. Uma força horizontal de é necessária para manter o bloco em repouso quando é puxado de de sua posição de equilíbrio. O bloco é liberado do repouso a partir deste ponto e realiza um movimento harmônico simples.
- Encontre a constante de força da mola e a frequência de oscilação.
- Determine a energia cinética máxima do bloco.
- Considere agora que o bloco esteja em repouso na sua posição de equilíbrio e um projétil de massa com velocidade de atinge o bloco, como mostra a figura (a) abaixo. O projétil fica preso no bloco, como mostrado na figura (b), e o sistema bloco+projétil passa a oscilar num movimento harmônico simples. Determine a amplitude do MHS resultante.
- Se o projétil do item c) atingir o bloco quando este se encontra com velocidade nula na posição , qual será a nova amplitude do movimento?
Passo 1
Bora lá! Primeiramente temos um sistema massa-mola que começará a entrar em MHS, após ter sido afastado de da sua posição de equilíbrio. Queremos encontrar algumas informações sobre o MHS que ele realiza. Depois, vamos considerar que ocorre uma colisão entre esse bloco e um projétil que fica preso nele.
Passo 2
a)
Aqui queremos encontrar a constante de força da mola e a frequência de oscilação.
O enunciado te deu o da mola e a força gerada por ela, então, para calcular a constante:
E a frequência angular é dada por:
A frequência de oscilação será:
Passo 3
b)
A energia cinética máxima ocorre quando toda a energia mecânica é cinética. Ou seja:
E a energia mecânica máxima é dada por:
Onde é a amplitude do movimento.
E qual a amplitude do movimento? Nesse caso, vale:
Então:
Então:
Passo 4
c)
Bom, galera, aqui vamos lembrar um pouco do que sabemos sobre colisões.
Como o sistema é isolado de forças externas, podemos dizer que o momento se conserva e então:
Então:
Essa é a velocidade do conjunto corpo mais bloco.
Beleza, mas e aí? Não queremos isso. Queremos saber é qual a amplitude do MHS.
Basta a gente lembrar que a energia cinética máxima é igual a , então:
Calculando
Então, usando a equação anterior:
Passo 5
d)
Após o choque, a velocidade continua a mesma que a do item c), só que agora temos também energia potencial. Então:
Resposta
a)
b)
c)
d)
Exercício Resolvido #5
PUCRIO-P1-2014.1-Q2
Um carrinho de massa , inicialmente em repouso no ponto , está preso a uma mola relaxada de constante elástica e pode se deslocar sem atrito sobre uma mesa horizontal. Um carrinho de massa se aproxima com uma velocidade e colide frontalmente com o carrinho . Após a colisão, que é completamente inelástica, os carrinhos passam a oscilar juntos. Encontre, em função dos dados acima,
- A velocidade dos blocos logo após a colisão.
- A frequência angular de oscilação e a amplitude, , do movimento.
- Considerando o instante de choque, obtenha a constante de fase e escreva a posição em função do tempo,
- Suponha que ao atingir a posição o carrinho se solte do sistema. Encontre a nova velocidade do carrinho ao passar pelo ponto
Passo 1
a)
Bem, aqui a gente só precisa lembrar da conservação de momento linear em colisões. Se tiver alguma dúvida, dê uma olhada lá no nosso guia de colisões.
Passo 2
b)
Vamos precisar também lembrar dos conceitos de energia. Nós temos a velocidade máxima dos blocos, pois é aquela que eles têm logo após o impacto.
Então temos a energia cinética máxima. Sabemos que essa energia cinética máxima é igual à energia potencial máxima:
E a energia cinética é:
Assim:
E a frequência angular é facilmente achada usando-se a fórmula:
Passo 3
c)
A função é a função que nos dá a posição de um MHS, então ela tema a forma:
Temos todas as informações, menos a . Só que pelo enunciado, em , . Então:
Ou seja, um múltiplo ímpar de
Vamos analisar o sinal da velocidade em pra saber mais da constante de fase:
Em
ou
Então:
Ou
Com e dados na letra b.
Passo 4
d)
Quando o carrinho se solta em , a energia mecânica se conserva.
Isso quer dizer que vamos ter que calcular a energia mecânica naquele ponto e depois calcular ela no ponto , onde a velocidade é máxima. Assim, lembrando que a massa do sistema diminuiu, podemos escrever:
Então:
Resposta
a)
b)
c)
d)