Difração por Duas Fendas Simples

Produzido por Bruno Soares
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Teoria

Introdução

Se você chegou até aqui já deve ter ouvido falar em interferência por duas fendas pontuais e difração por fenda simples.

Mas e agora, se eu tiver duas fendas maiores que as pontuais, digamos que elas tenham uma largura a da mesma ordem de grandeza de uma fenda simples de difração espaçadas numa distância d da mesma grandeza da distância das duas fendas pontuais. Ao apontarmos um laser pra essas fendas como será a figura gerada pelo fenômeno?

Desse jeito aqui!

Tá, mas como se formou essa figura diferente que a gente vê na parede?

A figura é a composição dos dois fenômenos já conhecidos só que juntos, esses são:

Interferência por 2 fendas pontuais

E Difração por fenda simples:

A união dos dois gera a figura de Difração por 2 fendas simples, e o esquema dela em desenho é mais ou menos assim:

Agora os dois fenômenos agem em conjunto pra criar uma figura nova na parede, essa figura possui o máximo central aumentado como na difração em fenda simples e os máximos secundários pouco espaçados como na interferência em duas fendas.

A figura também possui pontos mínimos de difração e nesses pontos não costuma ter incidência de luz.

Posição dos máximos e mínimos

Aqui não teremos muitas diferenças os parâmetros continuam os mesmos, se liga na figura:

Onde a é a largura da fenda, d é a distância entre as fendas e θ é o ângulo a partir do meio do ponto que a gente quer analisar.

Se precisarmos calcular o ângulo de um máximo de interferência faremos como antes:

d s e n θ = m λ

E de um mínimo de difração ainda é:

a s e n θ = m λ

Mas agora esses carinhas podem coincidir como na figura que a gente mostrou pro fenômeno da difração em duas fendas, se liga:

Vamos ver o que acontece? Vamos calcular a razão d / a   pra um caso de difração em duas fendas onde o primeiro mínimo de difração coincide com o quinto máximo de interferência e após isso vamos esboçar a figura mostrando quantos máximos de interferência estão compreendidos entre o primeiro e o segundo mínimo de difração.

Para o 1 0 mínimo de difração temos:

a s e n θ = 1 λ

E para o 5 0 máximo de interferência temos:

d s e n θ = 5 λ

E se liga, o comprimento de onda da luz não muda!

Sendo assim a razão é

d s e n θ a s e n θ = 5 λ 1 λ

Enfim:

d a = 5

Mas qual a importância dessa razão? A partir dela a gente sabe a cada quantos máximos vai aparecer um mínimo!

A gente sabe o seguinte, o primeiro mínimo tem um ângulo menor que o segundo pois quanto mais se afasta do centro maior é o ângulo e qualquer máximo compreendido ali terá um ângulo maior que o primeiro mínimo e menor que o maior mínimo se liga na imagem representando um máximo qualquer entre dois mínimos.

Daí a gente tira que:

θ 1 < θ < θ 2

E como o seno é aumenta com o ângulo, temos:

s e n θ 1 < s e n θ < s e n θ 2

E usando a equação da posição dos mínimos de difração temos:

s e n θ 1 = 1 λ a

s e n θ 2 = 2 λ a  

E dos máximos de interferência:

s e n θ = m λ d

E a relação vai ficar:

λ a < m λ d < 2 λ a

Multiplicando tudo por d λ :

d λ λ a < m λ d < 2 λ a

E enfim:

d a < m < 2 d a

Mas a gente já encontrou o valor de d / a   antes certo? Vamos substituir ele?

5 < m < 10

Ou seja, entre o primeiro e o segundo mínimo de difração temos:

m = 6,7 , 8,9

4 máximos de interferência.

E a figura vai ficar:

E olha o seguinte o máximo central é o marco 0, ele não conta como máximo nos múltiplos de m .

Outra coisa interessante é a simetria da figura, ela é idêntica para os dois lados, beleza?

Geralmente os problemas vão te pedir pra encontrar a quantidade de máximos contidos num mínimo e esboçar um gráfico, portanto focamos nisso aqui.

Outra coisa que podem te pedir é a intensidade, vamos ver como é?

Intensidade

Vamos começar olhando graficamente o que acontece, vimos algo parecido na introdução.

O gráfico I × θ pra interferência por duas fendas era:

E da figura de difração era desse jeitinho aqui.

Interferência e difração juntos a gente tem o seguinte gráfico.

E esse camarada é definido pela equação da intensidade dada por:

I = I 0 cos 2 ⁡ β s e n α α 2

Onde cada termo faz predominar um fenômeno, ou seja, cada um é responsável por um fenômeno.

Uma coisa importante, como a equação é um produto de senos e cossenos ao quadrado a intensidade nunca será maior que I 0 . Isso rola porquê essas funções são limitadas entre -1 e 1, e você pode ver também pelo gráfico.

E quem são os coeficientes que apareceram? Bom o β dado em radianos se relaciona com a distância entre as fendas d .

β = π d λ s e n θ

Um outro jeito de ver esse cara é o seguinte, como:

d s e n θ λ = m

β = m π

Lembrando que o m é um múltiplo do máximo de interferência aqui!

E o α em radianos com a largura da fenda a .

α = π a λ s e n θ

Podemos ver esse carinha de outro jeito também:

a s e n θ λ = m

α = m π

Lembrando que o m é um múltiplo do mínimo de difração aqui!

Pra fixar isso vamos calcular a intensidade de uma luz com λ = 650 n m , para a posição angular de 3 ° . Se a largura das fendas a = 0,03 m m   e a distância entre elas é d = 0,05 m m ,sabendo que I 0 = 10 k W / m 2 .

Vamos olhar pra nossa equação da intensidade:

I = I 0 cos 2 ⁡ β s e n α α 2

Precisamos de α e β .

α = π a λ s e n θ = π 0,03 × 10 - 3 650 × 10 - 9 × s e n 3 ° = 2,41 π r a d

β = π d s e n θ λ = π × 0,05 × 10 - 3 650 × 10 - 9 s e n 3 ° = 4,01 π r a d

Substituindo na equação em radianos temos:

I = I 0 cos 2 ⁡ 4,01 π s e n 2,41 π 2,41 π 2 = 0,016 I 0

Substituindo I 0 :

I = 10 × 0,016 = 0,16 W / m 2

Então se tivermos um gráfico de I × θ não tem mistério só se ligar onde usar as equações em radianos, a dica é deixar os resultados em função de π pra ajudar a te lembrar disso.

Posição dos máximos e mínimos

Intensidade

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