Difração por N Fendas
Teoria
Onde pode 2, pode 3 e pode o bonde!
A difração por um número qualquer de fendas não pontuais é muito parecida com a de duas fendas. Dessa vez vai ser como se fosse o produto da interferência por fendas com a difração por uma fenda não pontual.
Figura de difração para uma fenda simples de largura :
Figura de interferência para fendas separadas por uma distância :
Para a difração por N fendas, a razão entre a intensidade de um ponto e a intensidade máxima da figura agora vai ser:
Os máximos principais da figura continuam no mesmo lugar que os máximos da figura de interferência de duas fendas. Eles são calculados pela relação:
Quando iluminamos a rede com uma luz monocromática de raios paralelos, a figura obtida é constituída por uma série de linhas em ângulos determinados pela equação acima.
Lembrando algumas informações muito importantes:
- Existem máximos secundários entre cada par de máximos principais.
- Existem mínimos entre cada par de máximos principais, esses pontos são encontrados quando , .
- A intensidade máxima da figura acontece na franja central, e é dada por , onde é a intensidade da luz incidente e é o número de fendas.
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
UFRJ, Física 4, Prova 1, 2012.1, ME2
Considere a interferência da luz de comprimento de onda numa fenda dupla, onde a distância entre o centro das duas fendas é , cada fenda tem uma largura e a figura de interferência encontra-se numa tela a uma distância , tal que .
Quando e , e tivermos 3 fendas, o número de picos de intensidade dentro do máximo central de difração é igual a:
- 12
- 1
- 3
- 2
- 5
- 7
- 4
- 9
- 11
- 14
- 6
- 13
- Nenhuma das anteriores
Passo 1
Ok, antes de resolvermos o problema, vamos buscando o máximo de informações possíveis sobre difração com diversas fendas.
Sabemos que os máximos principais dentro da primeira envoltória são dados por:
Da mesma forma, sabemos que o primeiro mínimo de difração é dado por:
Como , temos que, dentro da primeira envoltória:
Onde:
;
.
Logo:
Sabemos então que o valor máximo de é .
Assim, teremos 5 máximos principais, referentes aos respectivos valores de :
Passo 2
Para fendas, sabemos que existem máximos secundários entre dois máximos principais.
Assim, para 3 fendas, teremos 1 máximo secundário entre dois máximos principais.
Como possuímos 5 máximos principais, teremos, no total, 4 máximos secundários.
Passo 3
Vimos também no Passo 1 que:
Isso significa que o primeiro mínimo de difração corresponde ao terceiro máximo de interferência.
Isso quer dizer que existe também um máximo secundário entre o máximo de ordem 2 e primeiro mínimo de difração.
Logo, teremos mais 2 máximos secundários, um para cara máximo de ordem 2 .
Passo 4
Ok, agora vamos fazer a contagem de picos de interferência que encontraremos dentro do máximo central de difração para 3 fendas.
No Passo 1, descobrimos que dentro do máximo central de difração encontramos 5 máximos principais.
No Passo 2, descobrimos que existem, no total, 4 máximos secundários.
No Passo 3, descobrimos que existem mais 2 máximos secundários entre os máximos de ordem 2 e os mínimos de difração.
Portanto, teremos 5+4+2=11 picos de intensidade.
Resposta
Letra (i): 11 picos de intensidade
Exercício Resolvido #2
UFRJ, Física 4, Prova 1, 2012.1, D2
Uma fonte monocromática de luz, com e intensidade conhecida , incide num conjunto de fendas, onde não conhecemos nem o número de fendas, nem o espaçamento entre elas e nem suas larguras.
Após a luz passar pelas fendas, observa-se a seguinte figura de interferência, onde e .
A partir da figura e dos dados, justificando as suas respostas, determine:
- O número de fendas
- A intensidade do máximo central
- A separação entre as fendas
- Podemos afirmar que as fendas são pontuais ou tem largura finita? Justifique.
Passo 1
Letra (a)
Para interferência com fendas, sabemos que entre dois máximos principais, existem máximos secundários.
Na figura, temos apenas máximo secundário entre dois máximos principais, logo:
Passo 2
Letra (b)
Sabemos que a intensidade do máximo central é proporcional a .
Logo, a intensidade do máximo central será:
Passo 3
Letra (c)
Os pontos de máximo de interferência são dados por:
No gráfico, vemos que o ângulo corresponde ao máximo principal de ordem 1. Logo:
;
;
;
Assim:
Passo 4
Letra (d)
Como podemos observar no gráfico, os máximos principais de primeira ordem possuem a intensidade ligeiramente menor do que o máximo central.
Logo, a situação apresenta, ainda que poucos, efeitos de difração.
Portanto, as fendas possuem larguras finitas.
Resposta
Letra (a):
Letra (b):
Letra (c):
Letra (d):
As fendas possuem larguras finitas.
Exercício Resolvido #3
UFRJ, Física 4, Prova 1, 2011.2, D2
No gráfico abaixo, da intensidade pelo , a intensidade representa a intensidade máxima de um padrão de interferência de fendas com a mesma largura e distando entre si de .
Considere o comprimento de onda igual a .
Responda, justificando:
- Quantas fendas há? Sabendo que por cada fenda passa uma intensidade luminosa igual a , quanto vale a intensidade máxima do padrão de interferência?
- Qual o valor de para o ponto no gráfico?
- Qual o valor de para o ponto no gráfico?
Passo 1
Letra a)
Sabemos que para fendas, existem máximos secundários entre cada par de máximos principais.
Assim, observando o gráfico, vemos que existem máximos secundários entre cada par de máximos principais.
Logo:
Passo 2
Sabemos que a altura de cada máximo principal é proporcional a .
Logo, como há fendas, a intensidade máxima do padrão de interferência será:
Passo 3
Letra b)
O ponto corresponde ao terceiro mínimo de difração.
O primeiro mínimo de difração ocorre quando:
O terceiro mínimo de difração é dado por:
Passo 4
Podemos associar a diferença de fase entre as ondas através da equação:
Logo:
Passo 5
Letra c)
O ponto se refere ao máximo principal de ordem 2. Podemos calcular a posição dos máximos de interferência através da equação:
Nesse caso:
;
Resposta
Letra (a):
Letra (b):
Letra (c):
Exercício Resolvido #4
UFRJ, Física 4, Prova 1, 2015.1, D2
Considere um feixe de luz monocromática, com comprimento de onda conhecido, que incide perpendicularmente num conjunto de fendas cuja estrutura queremos descobrir.
Após passar pelas fendas, a luz incide uma placa fotográfica paralela às fendas que registra uma série de traços claros (máximos) e escuros (mínimos) como mostrado na figura abaixo.
Esta figura foi interpretada como tendo uma intensidade relativa dada pela figura seguinte, onde na região entre e foram medidos 17 picos luminosos.
Considere que nos dois pontos referentes a a intensidade relativa é nula e que e que . Simplifique o máximo possível o seu resultado.
Quantas fendas existem no conjunto? Com base nos dados experimentais as fendas são pontuais? Há uma separação entre elas?
Se as fendas não forem pontuais, qual sua largura?
Qual a separação entre as fendas?
Qual a intensidade relativa do terceiro pico (sem contar o pico central) à direita do pico central, sabendo que o pico central tem intensidade máxima igual a ?
Passo 1
Quantas fendas existem no conjunto? Com base nos dados experimentais as fendas são pontuais? Há uma separação entre elas?
Para interferência com fendas, sabemos que entre dois máximos principais, existem máximos secundários.
No gráfico de intensidade, não temos nenhum máximo secundário entre dois máximos principais, logo:
Passo 2
Caso as fendas fossem pontuais, os máximos principais teriam a mesma amplitude. No gráfico de interferência, podemos ver que, a partir do máximo central, conforme aumenta ou diminui, as amplitudes dos máximos principais decaem.
Esse comportamento é típico de difração. Logo, as fendas não são pontuais.
Portanto, as duas fendas possuem uma abertura e um espaçamento entre elas.
Passo 3
Se as fendas não forem pontuais, qual sua largura?
A intensidade relativa é dada por:
Onde:
Onde o termo está relacionado à difração (é só observar que é na expressão de que aparece a largura das fendas).
O enunciado diz que em a intensidade relativa é nula. Assim, o primeiro mínimo de difração se dará quando:
Segundo o enunciado, . Logo:
Passo 4
Qual a separação entre as fendas?
Se quisermos calcular a separação entre as fendas, temos que olhar pros efeitos de interferência entre as fendas.
Olhando para a equação da intensidade relativa
Onde:
O termo está relacionado com a interferência (é só observar que é na expressão de que aparece a separação entre as fendas).
Os máximos de interferência no gráfico de intensidade acontecem quando:
Logo:
Substituindo a expressão de , teremos:
Como já esperávamos porque, quando falamos em interferência, os máximos de interferência são dados por:
Agora precisamos de um valor para .
Passo 5
Bom, o problema nos diz que na região entre e foram medidos 17 picos luminosos.
Como são 17 picos luminosos, eles estarão associados aos seguintes valores de :
Entretanto, os picos e aparecem antes do mínimo de difração, em .
Assim, o máximo valor de corresponderá ao máximo de interferência que coincide com o primeiro mínimo de difração .
Isso acontece porque, se um máximo de interferência coincide com o mínimo de difração, nós continuaremos não vendo esse pico luminoso, que estaria .
Por isso vemos apenas 17 picos luminosos (1 no centro, 8 à esquerda e 8 à direita) e não vemos os dois picos luminosos presentes no ângulo à esquerda e à direita.
Esses picos luminosos correspondem a . Logo, o máximo valor de é 9.
Sendo assim:
Onde e .
Passo 6
Qual a intensidade relativa do terceiro pico (sem contar o pico central) à direita do pico central, sabendo que o pico central tem intensidade máxima igual a ?
A intensidade relativa é dada por:
Onde:
O terceiro pico luminoso corresponderá a , logo:
Substituindo as expressões de , e , teremos:
Obs: Já escrevi os coeficientes e divididos por dois pois é assim que eles aparecem na fórmula da intensidade relativa.
Passo 7
Agora já podemos calcular a intensidade:
Onde:
Logo:
Resposta
Há duas fendas no conjunto. Ambas as fendas possuem uma abertura e um espaçamento entre elas.