Função de Onda no Átomo de Hidrogênio
Teoria
Agora sim, chegou a hora de estudar o átomo de hidrogênio de verdade usando a mecânica quântica!
O átomo de hidrogênio é o átomo mais simples da tabela periódica. Ele é formado por apenas duas partículas: Um próton e um elétron.
Vamos fingir que o próton está paradão, e só o elétron se move. A energia potencial entre os dois é a energia potencial elétrica que só depende da distância entre os dois:
Sendo que a carga do elétron é e a do próton é , com a carga elementar. Além disso, o elétron pode, a princípio, se mover em qualquer direção, sendo esse um problema tridimensional.
A equação de Schrödinger ficaria algo do tipo:
Sendo que a dependência de com vem pela distância entre o próton e o elétron.
Antes que você se assuste com essas equações e queira me mandar praquele lugar, eu peço que você confie em mim: Não vou ficar resolvendo esse trambolho gigante.
Vamos apenas discutir algumas propriedades mais importantes do resultado.
A função de onda que resulta disso vai ser quantizada, mas ela vai depender de mais de um número quântico.
De forma geral, ela vai ter uma parte que varia com a distância, que chamamos de função radial, e uma parte que varia com os ângulos que ela faz com os eixos , e chamada função angular.
Cada função vai depender de certos números, que são os três números quânticos (a dependência de cada uma está escrito embaixo dela):
- O número quântico principal
- O número quântico orbital
- O número quântico magnético
Ele é um número natural qualquer
Seu valor só pode variar de a .
, onde é o número quântico principal
Seu valor varia de até em passos de .
, onde é o número quântico orbital.
Todas as funções de onda do hidrogênio vão ser umas equações meio doidas. O estado fundamental vai ser:
Onde é o raio de Bohr, .
Outra coisa importante é a chamada distribuição de probabilidade radial do hidrogênio.
Sabemos que é a densidade de probabilidade de encontrar o elétron. Assim, para um volume bem pequeninho, onde , podemos aproximar essa probabilidade por:
Onde é esse voluminho.
Porém, eu posso querer saber apenas como essa probabilidade varia ao longo da distância do elétron e do próton. Pra isso, eu uso como voluminho o espaço entre duas cascas esféricas.
Esse voluminho vai ser:
E teremos:
E agora a probabilidade está em função de um pedacinho de distância. Chamamos de distribuição de probabilidade radial a função:
Para o estado fundamental, teremos:
Quando integramos essa função em relação a distância , nós temos a probabilidade de achar o elétron entre duas distâncias e do próton.
O seu valor máximo é dado para exatamente para o raio de Bohr, .
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 242-31
Para o átomo de hidrogênio no estado fundamental, calcule:
- A densidade de probabilidade para , onde é o raio de Bohr.
- A densidade de probabilidade radial para , onde é o raio de Bohr.
Passo 1
Letra a)
A função de onda do estado fundamental do átomo de hidrogênio é:
Onde é o raio de Bohr.
Temos então:
Substituindo, sendo
Passo 2
Letra b)
A densidade de probabilidade radial é dada por:
Em , temos:
Resposta
Letra a)
Letra b)
Exercício Resolvido #2
Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 243-41
Qual é a probabilidade de que, no estado fundamental do átomo de hidrogênio, o elétron seja encontrado a uma distância do núcleo maior que o raio de Bohr?
Sugestão:
É possível provar que a probabilidade de que o elétron no estado fundamental seja encontrado no interior de uma esfera de raio e centrada no núcleo do átomo é dada por:
Onde , com sendo o raio de Bohr.
Passo 1
A fórmula dada serve para calcular a probabilidade de encontrarmos o elétron a uma distância do núcleo menor que o raio de Bohr.
Porém, ou o elétron é encontrado a uma distância maior que o raio de Bohr ou a uma distância menor. Logo, a probabilidade dos dois somada é igual a (porque pelo menos um dos dois TEM que acontecer). Logo, queremos achar:
Passo 2
Para , temos
Logo:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 243-51
Qual é a probabilidade de que um elétron no estado fundamental do átomo de hidrogênio seja encontrado na região entre duas cascas esféricas de raios e :
- Se e , onde é o raio de Bohr?
- Se e , onde é o raio de Bohr?
(Sugestão:
é suficientemente pequeno para que a densidade de probabilidade radial seja considerada constante entre e )
Passo 1
Pela aproximação de muito pequeno, podemos dizer que a probabilidade de um elétron estar entre duas cascas esféricas de raios e será:
Onde é a densidade de probabilidade radial do elétron, dada por:
Passo 2
Letra a)
Para , temos:
Passo 3
Letra b)
Para , temos:
Resposta
Letra a)
Letra b)
Exercício Resolvido #4
Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 243-53
Para que valor do número quântico principal o raio efetivo que aparece em um gráfico de pontos da densidade de probabilidade radial do átomo de hidrogênio é igual a ?
Suponha que o valor de é o maior possível, .
(Sugestão: Veja a Fig.39-25 )
Passo 1
O raio efetivo que aparece no gráfico é:
Rearrumando:
Onde: