Teorema Trabalho-Energia
Teoria
O primeiro postulado da relatividade diz que:
“As leis da física são as mesmas em todos os referenciais inerciais. Não existe um referencial absoluto”.
Num passado não muito distante, nós definimos que o trabalho realizado por uma força é igual à variação da energia cinética, lembra disso? (Diz que sim, por favor)
Boa! :D
Então, partindo do primeiro postulado da relatividade, isso deve permanecer válido.
Ali atrás, nós definimos a energia cinética relativística da seguinte forma:
Onde é o fator de Lorentz, dado por:
Portanto, pela definição, o trabalho realizado por uma força sobre um corpo será dado por:
Onde e são os fatores de Lorentz final e inicial, respectivamente.
Show! Agora vamos trabalhar isso nos exercícios de fixação. Partiu!
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 4 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 180-41.
Determine o trabalho necessário para aumentar a velocidade de um elétron de para e de para .
Observe que o aumento de velocidade é o mesmo nos dois casos.
Passo 1
Determine o trabalho para aumentar a velocidade de um elétron de para .
Vimos que o trabalho é igual à variação da energia cinética, logo:
Onde:
Assim, o trabalho será:
Passo 2
Determine o trabalho para aumentar a velocidade de um elétron de para .
A ideia aqui é a mesma, então partiu!
Onde:
Assim, o trabalho será:
Resposta
Exercício Resolvido #2
PUCRIO-P3-2012.2-1ii
Calcule o trabalho necessário para acelerar um elétron do repouso até a velocidade . A massa do elétron é .
Passo 1
Quando estamos falando em trabalho e em variação de velocidade, devemos sempre pensar em usar o teorema do trabalho e energia cinética:
Como o elétron parte do repouso, temos que . Além disso podemos utilizar a definição da energia cinética relativística.
Onde é denominado fator de Lorentz
Passo 2
Antes de calcular efetivamente o trabalho, vamos primeiro determinar o valor de :
Passo 3
Agora podemos voltar à equação do trabalho:
Substituindo os valores, temos:
Resposta
Exercício Resolvido #3
PUCRIO-P3-2013.1
Calcule o trabalho o necessário para acelerar um próton do repouso até a velocidade . A massa do próton é .
Passo 1
Quando estamos tratando de trabalho e energia cinética, devemos sempre pensar no teorema do trabalho e energia cinética, que diz;
Pela definição de energia cinética relativística, temos:
Onde é o fator de Lorentz
Passo 2
Vamos primeiro determinar o valor de :
Substituindo os valores, temos:
Passo 3
Agora sim podemos determinar o trabalho:
Substituindo os valore, temos:
Resposta