Transformação de Lorentz para Espaço e Tempo
Produzido por Bruno SoaresTeoria
Introdução
Já percebeu o que acontece quando a gente tá dentro de um carro, ou ônibus? A nossa percepção dentro do evento é diferente de quem tá de fora. Isso acontece porquê para cada observador é definido um referencial com um sistema de coordenadas.
Vamos ver um exemplo onde dois observadores em pontos diferentes medem uma distância até um ponto se liga:
O carinha de fora que está no referencial fixo vê a distância da posição da seguinte forma:
Já o outro que tá dentro do carro vê o seguinte:
A questão é: qual a relação entre os dois sistemas de coordenadas?
Transformação de Galileu
Antes de começar a estudar relatividade, se tivéssemos que estabelecer a relação entre as coordenadas, usaríamos as Transformações de Galileu. Vamos entender essas transformações fazendo o exemplo do carro.
Imagina que esse carro se movimenta com se a posição observada por , calcule a posição observada em quando .
Como a velocidade que o carro se movimenta é , a gente pode dizer que de até o espaço percorrido é:
E nesse caso pela figura a gente vê que:
E para o tempo observado é o mesmo que em :
Substituindo os valores pra posição a gente descobre o que foi observado em
Essas transformações são válidas quando a velocidade do objeto em movimento for muito menor do que a velocidade da luz.
Mas e quando as velocidades forem muito altas?
Transformação de Lorentz para as coordenadas
Lorentz reescreveu as transformações de Galileu e enfim definiu uma nova transformação que relaciona com que funciona para todos os casos incluindo para velocidades próximas a da luz.
Vamos de novo ao exemplo do carro, porém agora ele se movimenta com velocidade . Como encontrar a posição pra para o mesmo espaço porém agora no tempo .
O referencial se move em relação ao referencial com velocidade no sentido . Assim, as coordenadas e permanecem as mesmas nos dois referenciais.
Usando a transformada de Galileu e o conceito de contração do espaço vamos chegar onde queremos:
Lembrando que a contração espacial é dada por:
A única distância que vai sofrer contração espacial é a distância não própria, que para é a parcela de , ou seja, .
E rearrumando, temos a relação entre as coordenadas no caso relativístico, para .
E pra ganharmos tempo vamos encontrar a posição pra usando o seguinte bizu:
Vamos pegar a equação pra
E fazer as modificações:
E a equação pra posição do referencial ficará:
Lembrando que o fator de Lorentz é:
E pra responder a posição observada em o primeiro passo é calcular o fator de Lorentz que com os valores da equação fica:
O fator é responsável pela distorção, e nesse caso é a contração do espaço, agora substituímos os valores pra na equação da posição do referencial
Lembrando que e
Sa gente não considerasse o fator de Lorentz o resultado encontrado teria sido menor. Isso mostra que a transformação de Galileu não seria eficiente pra determinar o comprimento medido pra quando a velocidade do objeto for próxima a velocidade da luz.
Também é possível relacionar o tempo que cada observador vê, que por causa da dilatação do tempo acaba sendo diferente entre e
Para achar a relação entre e , bastaria isolar ou das duas equações igualá-las, assim:
O resultado para é:
E no nosso exemplo, o tempo observado pra seria:
Cortando o semelhante e substituindo o valor da velocidade da luz temos:
E como
E repara que encontramos um tempo , isso significa que pro observador em o tempo sofreu dilatação.
Aplicando aquele bizu que foi usado pra posição, a gente pode encontrar a equação pro tempo em , caso o enunciado nos dê o tempo em .
Então vamos pegar a equação:
e trocar:
E a equação do tempo para passará a ser:
Resumo
Bom, pra simplificar a nossa vida, se liga no resumão abaixo.
- Transformação de (em repouso) para (em movimento):
- Transformação de (em movimento) para (em repouso):
Ah, é! Sobre as transformações de Galileu, olha só: nas situações em que , , as Transformações de Lorentz se tornam as transformações de Galileu.