Transformação de Lorentz para Espaço e Tempo

Produzido por Bruno Soares
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Teoria

Introdução

Já percebeu o que acontece quando a gente tá dentro de um carro, ou ônibus? A nossa percepção dentro do evento é diferente de quem tá de fora. Isso acontece porquê para cada observador é definido um referencial com um sistema de coordenadas.

Vamos ver um exemplo onde dois observadores em pontos diferentes medem uma distância até um ponto x ,   se liga:

O carinha de fora que está no referencial S fixo vê a distância da posição x da seguinte forma:

Já o outro que tá dentro do carro vê o seguinte:

A questão é: qual a relação entre os dois sistemas de coordenadas?

Transformação de Galileu

Antes de começar a estudar relatividade, se tivéssemos que estabelecer a relação entre as coordenadas, usaríamos as Transformações de Galileu. Vamos entender essas transformações fazendo o exemplo do carro.

Imagina que esse carro se movimenta com u = 20 m / s , se a posição observada por S = 100 m , calcule a posição observada em S '   quando t = 3 s .

Como a velocidade que o carro se movimenta é u , a gente pode dizer que de S até S ' o espaço percorrido é:

∆ x = u t

E nesse caso pela figura a gente vê que:

∆ x = x - x '

x - x ' = u t

x ' = x - u t

E para S ' o tempo observado é o mesmo que em S :

t ' = t

Substituindo os valores pra posição x ' a gente descobre o que foi observado em S '

x ' = 100 - 20 × 3 = 40 m

Essas transformações são válidas quando a velocidade do objeto em movimento for muito menor do que a velocidade da luz.

Mas e quando as velocidades forem muito altas?

Transformação de Lorentz para as coordenadas

Lorentz reescreveu as transformações de Galileu e enfim definiu uma nova transformação que relaciona x ' com x   que funciona para todos os casos incluindo para velocidades próximas a da luz.

Vamos de novo ao exemplo do carro, porém agora ele se movimenta com velocidade u = 0,6 c . Como encontrar a posição pra S ' para o mesmo espaço x = 100 m porém agora no tempo t = 0,3 μ s .

O referencial S ' se move em relação ao referencial S com velocidade u no sentido + x . Assim, as coordenadas y e z permanecem as mesmas nos dois referenciais.

Usando a transformada de Galileu e o conceito de contração do espaço vamos chegar onde queremos:

Lembrando que a contração espacial é dada por:

l = l 0 γ

A única distância que vai sofrer contração espacial é a distância não própria, que para S é a parcela de S ' , ou seja, x ' .

x ' γ = x - u t

E rearrumando, temos a relação entre as coordenadas no caso relativístico, para S ' .

x ' = γ x - u t

E pra ganharmos tempo vamos encontrar a posição pra S usando o seguinte bizu:

Vamos pegar a equação pra S '

x ' = γ x - u t

E fazer as modificações:

x → x '

t → t '

x - u t → x ' + u t '

E a equação pra posição do referencial S ficará:

x = γ x ' + u t '

Lembrando que o fator de Lorentz é:

γ = 1 1 - u 2 c 2

E pra responder a posição observada em x ' o primeiro passo é calcular o fator de Lorentz que com os valores da equação fica:

γ = 1 1 - 0,6 c 2 c 2 = 1 1 - 0,36

γ = 1 0,64 = 10 8

O fator é responsável pela distorção, e nesse caso é a contração do espaço, agora substituímos os valores pra x ' na equação da posição do referencial S ' .

x ' = γ x - u t

Lembrando que c = 3 × 10 8 m / s e 0,3 μ s = 3 × 10 - 7 s

x ' = 10 8 100 - 0,8 × 3 × 10 8 × 3 × 10 - 7

x ' = 10 8 × 28 = 35 m

Sa gente não considerasse o fator de Lorentz o resultado encontrado teria sido menor. Isso mostra que a transformação de Galileu não seria eficiente pra determinar o comprimento medido pra S ' quando a velocidade do objeto for próxima a velocidade da luz.

Também é possível relacionar o tempo que cada observador vê, que por causa da dilatação do tempo acaba sendo diferente entre S e S '

Para achar a relação entre t e t ' , bastaria isolar x ' ou x das duas equações igualá-las, assim:

x ' = γ x - u t = ⏟ D a   p r i m e i r a e q u a ç ã o - u t ' + x / γ     ⏟ D a   s e g u n d a e q u a ç ã o

O resultado para S ' é:

t ' = γ t - u x c 2

E no nosso exemplo, o tempo observado pra S ' seria:

t ' = 10 8 × 3 × 10 - 7 - 0,8 c × 100 c 2

Cortando o semelhante e substituindo o valor da velocidade da luz temos:

t ' = 10 8 × 3 × 10 - 7 - 60 3 × 10 8

t ' = 10 8 10 - 7 = 1,25 × 10 - 7 s

E como 10 - 6 s = μ s

t ' = 0,125 μ s

E repara que encontramos um tempo t ' < t , isso significa que pro observador em S o tempo sofreu dilatação.

Aplicando aquele bizu que foi usado pra posição, a gente pode encontrar a equação pro tempo em S , caso o enunciado nos dê o tempo em S ' .

Então vamos pegar a equação:

t ' = γ t - u x c 2

e trocar:

t → t '

x → x '

t - u x c 2 → t ' + u x ' c 2

E a equação do tempo para S passará a ser:

t = γ t ' + u x ' / c 2

Resumo

Bom, pra simplificar a nossa vida, se liga no resumão abaixo.

  • Transformação de S (em repouso) para S ' (em movimento):
  • x ' = γ x - u t

    y ' = y

    z ' = z

    t ' = γ t - u x / c 2

    T r a n s f o r m a ç õ e s   d e   L o r e n t z   p a r a   a s   c o o r d e n a d a s

  • Transformação de S ' (em movimento) para S (em repouso):

x = γ x ' + u t '

y = y '

z = z '

t = γ t ' + u x ' / c 2

T r a n s f o r m a ç õ e s   d e   L o r e n t z   p a r a   a s   c o o r d e n a d a s

Ah, é! Sobre as transformações de Galileu, olha só: nas situações em que u ≪ c , γ → 1 , as Transformações de Lorentz se tornam as transformações de Galileu.

Transformação de Lorentz para as coordenadas

Resumo

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