Conservação da Velocidade e Posição do Centro de Massa
Teoria
Conservação de Momento Linear e da Velocidade do Centro de Massa
Se em um sistema o somatório de forças externas for zero, haverá conservação de momento linear.
Lembrando que a velocidade do centro de massa é dada por:
Então se o momento linear é constante, temos que a velocidade do centro de massa irá se conservar:
Ou seja, se o sistema está em repouso no início, a menos que ocorra a ação de uma força externa, ele continuará na mesma posição, em repouso.
Mas o sistema pode estar se movendo inicialmente com uma velocidade . Nesse caso, se não ocorrer ação de nenhuma força externa, o centro de massa do sistema continuará se deslocando com velocidade .
Assim, o movimento do centro de massa irá se conservar. Isso significa que o deslocamento do centro de massa continuará sendo o mesmo se não houver ação de forças externas. Se estava parado continua parado, se estava em movimento continua se movimentando com a mesma velocidade.
Vamos fazer um esquema de tudo que vimos:
Se , o momento linear irá se conservar: . Nesse caso:
- Se a posição do centro de massa irá continuar a mesma
- Se o centro de massa vai manter o movimento que estava fazendo.
Explosões
A explosão é um caso especial de colisão, onde o momento linear irá se conservar. Sendo assim o centro de massa irá continuar executanto o mesmo movimento que estava fazendo antes da explosão. A velocidade do centro massa também continuará a mesma.
E quando houver força externa?
Quando o somatório de forças externas em um sistema não for zero, teremos que:
O momento linear do sistema irá variar, e assim a velocidade do centro de massa também irá variar. Se a velocidade varia, o deslocamento do centro de massa no tempo também irá variar.
Beleza, vimos tudo que não podemos dizer se houver ação de força externa resultante no sistema, mas tem alguma equação que podemos usar?
Claro, tem essa aqui:
Também, pela segunda lei, vamos pode dizer que a força resultante sobre um sistema é igual a massa do sistema vezes a aceleração do centro de massa:
Pronto! Vamos fazer uns exercícios?
Explosões
E quando houver força externa?
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
UFRJ – 2ª Prova – 2012.1
Uma granada está em repouso sobre uma mesa horizontal e sem atrito. Num dado instante ela explode em dois fragmentos de massas e velocidades diferentes, onde os fragmentos permanecem movimentando-se sobre a mesa. É possível afirmar que:
A energia cinética é conservada.
A posição do centro de massa das partículas varia com o tempo.
O momento linear total do sistema não é conservado.
A velocidade do centro de massa é nula após a explosão.
Nenhuma das opções acima está correta.
Passo 1
Já vimos na teoria que quando acontece uma explosão o centro de massa mantém o movimento que estava realizando, porque não há acção de forças externas no sistema.
Como incialmente ele estava em repouso a velocidade do centro de massa será SEMPRE, para esse caso, zero.
Resposta
Letra
Exercício Resolvido #2
UFRJ – 2ª Prova – 2013.2
Um projétil é lançado de uma plataforma do ponto e num dado instante após ser lançado ele se fragmenta em dois pedações de massa e , que caem simultaneamente nas posições horizontais e respectivamente. Se o projétil não se fragmentasse o seu alcance seria,
;
;
;
;
;
Passo 1
Quando temos uma explosão, já vimos que o centro de massa mantém o movimento que ele estava tendo antes da explosão.
Sendo assim, a posição que o projétil cairia sem se fragmentar é igual a posição do centro de massa.
Vamos nos preocupar apenas com o , porque sabemos que na queda o centro de massa estará no chão.
Passo 2
A fórmula do centro de massa é
Pelos dados no enunciado
E
Então
Resposta
Letra
Exercício Resolvido #3
Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp – 259
Uma jovem de está em pé sobre uma canoa de e comprimento igual a . Ela caminha a partir de um ponto situado a de uma das extremidades da canoa até atingir a outra extremidade da canoa. Desprezando a resistência da água ao movimento da canoa, qual a distância que a canoa se move nesse processo?
Passo 1
Vamos considerar o sistema jovem-canoa, isso porque são os dois objetos que estamos interessados.
Quando a menina se move, a força que ela faz na canoa é a mesma força que a canoa faz nela, então essa força é interna.
Como inicialmente a canoa está em equilíbrio, a soma das forças externas é zero, o momento linear do sistema jovem-canoa é constante.
A menina parte do repouso então a velocidade do centro de massa é zero. Ok, mas e aí?
É importante entender bem que quando o momento linear é constante a velocidade do centro de massa é constante, nesse exercício ela é zero.
Mas o que isso quer dizer? Que a posição do centro de massa do sistema não muda.
Nós interessa em particular a posição horizontal do centro de massa, porque é na horizontal que existe movimento do barco e da menina.
Passo 2
Vamos calcular a posição do centro de massa antes da jovem começar a se mexer. Colocando a origem na ponta esquerda do barco, a posição de cada objeto do sistema é
Além disso
Repara que a posição do centro de massa do barco é na metade dele, isso porque ele é homogêneo.
Passo 3
Quando a menina para de andar, ela chegou no outro extremo do barco. Ela andou EM RELAÇÂO AO BARCO, .
Vamos considerar que o barco se moveu . Então a menina passou a estar na posição onde ela andou para a direita enquanto o barco andou , vamos deixar sem sinal porque não sabemos se o barco foi para a direta ou esquerda, o sinal de vai nos dizer isso quando resolvermos o problema
Passo 4
Vamos calcular o centro de massa por esses valores
Sabemos, pelo passo 2, que
Então
Resposta
O barco andou para a esquerda
Exercício Resolvido #4
UERJ – 2ª Lista
Um homem de sentado na popa de uma canoa de e de comprimento, conseguiu trazê-la para uma posição em que está parada, encostada perpendicularmente a um pequeno ancoradouro. Na proa da canoa encontra-se a sua namorada (). Se os dois trocarem de lugar, de que distância a canoa se afastará do ancoradouro?
Passo 1
O primeiro passo é nomear tudo para podermos diferencias as variáveis nos nossos cálculos.
E como não há ação de forças externar sabemos que a posição do centro de massa não irá mudar, pois a velocidade do centro de massa é zero.
Passo 2
Agora vamos calcular as posições inicias e finais do centro de massa utilizando a fórmula
Como só há movimento em não precisamos representar como vetor.
Ótimo, agora a posição final do centro de massa, para isso vamos considerar que a canoa andou uma distância
Passo 3
O sistema considerado é o homem, a mulher e o barco. No momento em que o homem troca de lugar com a mulher, apenas forças internas atuam no barco, são forças do homem no barco, da mulher no barco e vice-versa. Todas forças internas.
Mas nenhuma dessas forças é externa ao sistema .
Portanto, se lembramos da regra que diz que quando o , o centro de massa permanece no mesmo lugar, nós poderemos igualar
Lembrando que corresponde à distância que o barco se afastará do ancoradouro.
Agora podemos fazer as substituições das variáveis pelos valores dados no problema.
Resposta
Exercício Resolvido #5
PUC-RIO – 2ª Prova – 2014.2
Um homem de massa está na cesta de um balão de ar quente de massa , que se encontra a uma altura em relação ao solo. Devido a uma força de sustentação do ar conhecida como empuxo, o balão está em repouso em relação ao solo. O homem decide descer do balão usando uma escada de corda de suspensa que toca levemente o solo, conforme a figura.
Se o homem começar a descer pela escada com velocidade (em relação ao balão), qual o sentido e qual a velocidade com que o balão irá se mover em relação ao solo?
Após descer os até o final da escada, o balão terá subido e o homem se encontrará a uma distância entre a base da escada e o solo. Calcule o valor da distância .
Passo 1
A velocidade do homem em relação ao solo se relaciona com a velocidade do balão em relação ao solo por:
Uma vez que o sistema possui resultante das forças externas nula () e as forças internas relacionadas entre o homem e balão são produzidas em pares ação e reação, se anulando também, ocorrerá conservação do momento linear total do sistema. Desta forma, a velocidade do centro de massa do conjunto é constante e vale:
Substituindo o valor de
Devido ao sinal negativo, conclui-se que o balão tem sentido de movimento contrário ao do homem, ou seja, o balão sobe com velocidade de em relação ao solo.
Passo 2
Visto que a velocidade do centro de massa do sistema é nulo, sua coordenada da posição do centro de massa será constante. Após o homem ter descido a escada, o balão terá se deslocado uma altura para cima. Assim:
Considerando o chão como
Assim, o balão estará a do solo enquanto o homem estará a do solo.
Resposta
O balão sobe com velocidade de em relação ao solo
Exercício Resolvido #6
USP – 2ª Prova – 2012
Duas pessoas, de mesma massa , estão de pé e presas às extremidades opostas de uma prancha, de comprimento e massa desprezível, que inicialmente se encontra em repouso sobre uma pista de gelo, como mostrado na figura. A pessoa da direita joga, com certa velocidade horizontal, uma bola de massa em direção à outra pessoa que consegue pegá-la. Despreze os efeitos da resistência do ar e do atrito entre a prancha e a pista de gelo. Para um observador parado na borda da pista:
Encontre a equação que descreve a posição do centro de massa () do conjunto prancha + pessoas + bola enquanto a bola vai da direita para a esquerda. Justifique sua resposta com argumentos físicos.
Encontre as equações da velocidade e da posição do centro da prancha (que inicialmente vale ) enquanto a bola vai da direita para a esquerda, em função das massas e da velocidade da bola.
Determine a posição da pessoa da direita, no momento em que a bola é agarrada pela pessoa da esquerda, usando o referencial da figura.
O que acontece com o conjunto prancha + pessoas + bola após que a pessoa da esquerda agarrou a bola? Justifique sua resposta com argumentos físicos.
Passo 1
Lembrando que:
Como não tem forças externas ao sistema, apenas forças internas, teremos que:
Ou seja, o momento linear não varia, é constante. Consequentemente, o centro de massa também não poderá mudar de posição, pois:
O sistema está em repouso no momento inicial, então , e continuará sendo zero, pois o momento linear não varia.
Logo a posição do centro de massa continuará sempre a mesma, e pode ser calculada pela fórmula:
Substituindo os dados do problema:
Passo 2
Como o não pode se deslocar, enquanto a bola se desloca da direita para a esquerda, a prancha deve se deslocar da esquerda para a direita.
Durante o movimento da bola, teremos a velocidade da bola e a velocidade da prancha que por conta do contato, será também, a velocidade das pessoas.
Pronto, já temos a velocidade da prancha, como não possui forças externas atuando, essa velocidade é constante e deve obedecer a fórmula:
Substituindo os dados do problema:
Passo 3
No final do movimento, as duas pessoas se deslocaram para a direita de uma mesma distância em relação às suas posições iniciais.
E como a posição do centro de massa é fixa, podemos dizer que:
Logo, como a pessoa da direita estará na posição:
Passo 4
Como a posição do é constante, o conjunto prancha + pessoas + bola depois que a pessoa da esquerda agarrou a bola permanece em repouso.
Resposta
Permanece em repouso.
Exercício Resolvido #7
UFRJ – 2ª Prova – 2012.1
Sobre uma mesa horizontal perfeitamente lisa repousa um sistema formado por duas pequenas massas e , ligadas por uma mola de massa desprezível e que se encontra relaxada. A partir do instante passa a atuar sobre a massa uma força externa constante paralela à mesa, e uma força sobre a massa . Pode-se afirmar que para
O centro de massa do sistema se move ao longo de uma reta
O momento linear total do sistema se conserva
A velocidade do centro de massa é uma função quadrática do tempo
A distância entre as massas e permanece constante
O momento angular total do sistema, referido ao centro de massa, permanece constante
Passo 1
Vamos ter forças externas atuando, dessa forma
E essa força será constante, já que é constante.
Passo 2
Já vimos que
Então
Passo 3
Como a força é constante a aceleração do centro de massa será constante também.
Repara que a aceleração do centro de massa que encontramos no “passo ” vai ter sentido contrário a força , mas seu sentido vai se manter sempre igual.
Como ele partiu do repouso ele vai seguir nesse sentido “para sempre” logo vai seguir uma reta.
Resposta
Letra