Velocidade e Momento Linear do Centro de Massa

Produzido por Ludovic Beghin
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Teoria

Velocidade do Centro de Massa

Imagine o sistema de partículas desenhado na figura abaixo, considere que m 1 , m 2 e m 3 tem o mesmo valor m . Podemos representar todas as partículas do sistema pelo centro de massa:

Digamos que as partículas P 1 ,   P 2 e P 3 tenham as respectivas velocidades: v 1 = 2 m / s , v 2 = 3 m / s e v 3 = 5 m / s , todas na direção x ,   como calcular a velocidade do centro de massa?

Que tal usar uma média ponderada das velocidades dos objetos do sistema, onde o peso da média é a massa de cada objeto.

v → C M = m 1 . v → 1 + m 2 . v → 2 + … + m n . v → n m 1 + m 2 + … + m n    

E através da direção e do sentido da Velocidade do Centro de Massa podemos descrever o movimento do Centro de Massa.

Onde v → representa a Velocidade do Centro de Massa de cada objeto do sistema. Assim as partículas mais pesadas tem maior possibilidade de alterar a direção e o sentido do movimento do Centro de Massa. No nosso exemplo todas as partículas tem massa m , então:

v → C M = v → 1 + v → 2 + v → 3 3

E substituindo temos:

v → C M = 2 + 3 + 5 3 = 3,33 m s

Imaginemos agora o mesmo problema porém a velocidade da partícula P 1 aponta para a direção y , como resolver essa parada?

Nesse caso temos que separar as componentes dos vetores nos eixos x, y, e z. Generalizando poderíamos escrever:

v → C M v x C M = m 1 . v 1 x + m 2 . v 2 x + … + m n . v n x m 1 + m 2 + … + m n v y C M = m 1 . v 1 y + m 2 . v 2 y + … + m n . v n y m 1 + m 2 + … + m n v z C M = m 1 . v 1 z + m 2 . v 2 z + … + m n . v n z m 1 + m 2 + … + m n

E pro nosso exercício vai ficar:

v → C M = ( v x C M , v y C M )

E a gente faz o cálculo:

v x C M = ( v 1 x + v 2 x + v 3 x ) 3      

Como temos v 1 x = 0 :

v x C M = 3 + 5 3 = 8 3 m / s

E para y temos apenas a velocidade da primeira partícula atuando já que as outras são zero.

v y C M = ( v 1 y + v 2 y + v 3 y ) 3

Daí:

v y C M = 2 3 m / s

Mas sabemos que o momento linear de uma partícula vale:

p → = m . v →

E de um sistema de partículas:

p → = m 1 . v → 1 + m 2 . v → 2 + … + m n . v → n

Podemos então reescrever a equação da velocidade do centro de massa da seguinte forma

v → C M = p → m 1 + m 2 + … + m n

Momento Linear do Centro de Massa

Podemos brincar com a última fórmula e reescrevê-la isolando o Momento Linear, dessa forma podemos calcular o Momento Linear a partir do valor das massas das partículas e da Velocidade do Centro de Masssa do objeto:

p → = m 1 + m 2 + … . v → C M

Em um colisão em que existir a Conservação do Momento Linear, podemos afirmar que a velocidade do centro de massa do sistema irá se manter a mesma:

v → C M 0 = v → C M f = c o n s t a n t e  

Bora fazer um exemplo disso aqui pra entender legal, imagina o seguinte sistema:

As partículas possuem a mesma massa e a azul P 1 tem velocidade v 10 = 1 m / s enquanto que a outra partícula P 2 tem velocidade de v 2 0 = 5 m / s , se após a colisão a velocidade da partícula azul passou a ser v 1 f = 2 m / s   mostre que a velocidade inicial e final do centro de massa é a mesma.

Bom vamos usar primeiro a conservação de momento linear pra encontrar a velocidade final da partícula P 2 e por esse motivo aqui poderemos dizer que a velocidade final do centro de massa tabém será a mesma.

m v 10 + m v 20 = m v 1 f + m v 2 f

Como ambas possuem a mesma massa o problema fica dependendo das velocidades:

v 10 + v 20 - v 1 f = v 2 f

Substituindo os valores:

v 2 f = 5 + 1 - 2 = 4 m / s

A velocidade do centro de massa inicialmente era:

v → C M = ( v 10 + v 20 ) 2

E substituindo os valores:

v → C M 0 = 5 + 1 2 = 3 m / s

E a velocidade final do centro de massa é:

v → C M f = ( v 1 f + v 2 f ) 2

E substituindo os valores:

v → C M f = 4 + 2 2 = 3 m / s

E após as partículas colidirem as velocidades finais e a do centro de massa tem o mesmo sentido da figura e o centro de massa mantém a mesma posição entre as partículas.

Show, vamos dar uma olhadas em uns exercícios!

Momento Linear do Centro de Massa

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