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Exercícios Resolvidos de Fundamentos de Lógica e Linguagem Matemática

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Exercício 1234567

Enunciado

Seja a proposição p x , y = " x + 4 > y " com x , y ∈ S = { 1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   5 } . Para as seguintes proposições, reescreva-as em português e atribua um valor verdade

a   ∀ x ∈ S ,   ∃ y ∈ S   |   p ( x ,   y )

b   ∃ y ∈ S   |   ∀ x ∈ S ,   p ( x ,   y )

Passo 1

NOOOOSSA MEU CORAÇÃO NÃO AGUENTA VER TANTOS “EXISTE” E “PARA TODO” JUNTO

Vamos com calma, meu anjo. Começando do começo:

a ∀ x ∈ S ,   ∃ y ∈ S   |   p ( x , y )

Vamos traduzir isso para o português, lembrando que a vírgula continua como vírgula e " | " vira “tal que”:

P a r a   t o d o   x   e m   S ,   e x i s t e   y   e m   S   t a l   q u e   x + 4 > y

Será que isso é verdade? Vamos ver:

S e   x = 1 ,   p o d e m o s   e s c o l h e r   y = 1   t a l   q u e   1 + 4 > 1

Isso é verdade e vai ser verdade para todos os números que você testar como sendo x e y . Portanto, a afirmação é verdadeira.

Passo 2

Vamos para a próxima:

b   ∃ y ∈ S   |   ∀ x ∈ S ,   x + 4 > y

Traduzindo para o português:

E x i s t e   u m   y   e m   S   t a l   q u e   p a r a   t o d o   x   e m   S ,   x + 4 > y

Para verificarmos se isso é verdade, precisamos encontrar um único y que obedece a aquela relação p para todo e qualquer x .

Cara, se y = 1 , podemos pegar qualquer x em S que a relação x + 4 > y será verdadeira, dado que x + 4 é sempre maior que 1 para qualquer número em S .

Logo, é verdadeira.

Resposta

a   P a r a   t o d o   x   e m   S ,   e x i s t e   y   e m   S   t a l   q u e   x + 4 > y .   V E R D A D E I R A

b   E x i s t e   u m   y   e m   S   t a l   q u e   p a r a   t o d o   x   e m   S ,   x + 4 > y .   V E R D A D E I R A