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Exercícios Resolvidos de Introdução a Bombas

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Exercício 91234567810

Enunciado

1. Calcule as seguintes integrais:

(b)  ∫ 0 π 4   c o s 3 ⁡ ( x ) d x

Passo 1

Vamos calcular a integral  ∫ 0 π 4   c o s 3 ��� ( x ) d x .

Para resolver essa integral, podemos usar a substituição trigonométrica. Neste caso, vamos usar a identidade trigonométrica c o s 2 ⁡ ( x ) = 1 - s i n 2 ⁡ ( x ) para simplificar a integral.

Começamos com a integral original:

∫ c o s 3 ⁡ ( x ) d x

Usando a identidade c o s 2 ⁡ ( x ) = 1 - s i n 2 ⁡ ( x ) , podemos reescrever c o s 3 ⁡ ( x ) como c o s ⁡ ( x ) ⋅ c o s 2 ⁡ ( x )

∫ c o s 3 ⁡ ( x ) d x = ∫ c o s ⁡ ( x ) ⋅ 1 - s i n 2 ⁡ ( x ) d x

Passo 2

Agora, fazemos a substituição  u = s i n ⁡ ( x ) , d u = c o s ⁡ ( x ) d x , para simplificar a integral:

∫ 1 - u 2 d u

Integrando em relação a  u  :

∫ 1 - u 2 d u = u - u 3 3 + C

Agora, substituindo  u = s i n ⁡ ( x )  :

∫ c o s 3 ⁡ ( x ) d x = s i n ⁡ ( x ) - s i n 3 ⁡ ( x ) 3 + C

Passo 3

Agora, vamos avaliar a integral definida:

∫ 0 π 4   c o s 3 ⁡ ( x ) d x = s i n ⁡ ( x ) - s i n 3 ⁡ ( x ) 3 0 π 4

Substituindo  π 4  na expressão:

s i n ⁡ π 4 - sin 3 ⁡ π 4 3 - s i n ⁡ ( 0 ) - s i n 3 ⁡ ( 0 ) 3

2 2 - 2 2 3 3 - ( 0 - 0 )

2 2 - 1 12

Portanto,  ∫ 0 π 4   c o s 3 ⁡ ( x ) d x = 2 2 - 1 12 .

Resposta

∫ 0 π 4   c o s 3 ⁡ ( x ) d x = 2 2 - 1 12 .

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