Uma bomba centrífuga é utilizada para bombear 0,009 m³/s de água. A água entra no rotor axialmente através de um orifício de 32 mm de diâmetro. A velocidade de entrada é axial e uniforme. O diâmetro de saída do rotor é 100 mm. O escoamento sai do rotor a 3 m/s em relação às Pás, que são radiais na saída. A velocidade do rotor é 3450 rpm. Determine a largura de saída do rotor, b 2 , o torque de entrada e a potência requerida prevista pela equação de Euler para turbinas.

Passo 1

Beleza! Bora começar os trabalhos! O problema fala de uma bomba centrífuga usada pra bombear água, isso acontece como mostra essa imagem aqui em baixo:

A água vem por uma tubulação e chega até a o “olho da bomba”. De lá o fluido é rotacionado e ganha energia de pressão, desempenhando então a função da bomba! ^^

Pra entender melhor como é o caminho completo da água pelo sistema, olha aqui as vistas frontal e lateral da bomba:

Essa parte mais a esquerda é como vemos a bomba de frente e na parte da direita é o que já vimos no começo: sua lateral.

Temos que achar agora três coisas:

  • A largura de saída do rotor ( b 2 )
  • O torque de entrada ( T e i x o )
  • A potência requerida ( W m )

Então, bora resolver essa parada!

Passo 2

Pelo balanço material, a gente sabe que a vazão mássica ( m ˙ ) é dada por:

m ˙ = ρ . Q

Já a vazão volumétrica ( Q ) pode ser escrita como:

Q = A . V

Em que A é a área lateral da superfície cilíndrica e V se refere a componente da velocidade perpendicular à A .

A vazão de fluido que passa pela superfície 1 ou pela 2 é a mesma, mas como queremos achar a largura de saída do rotor ( b 2 ), vamos avaliar a equação para a superfície 2 :

Q = 2 π . R 2 . b 2 . ( V n 2 )

Esse V n 2 representa a componente da velocidade que é normal à superfície 2 .

Como queremos determinar a largura ( b 2 ) e já conhecemos a vazão ( Q ), temos que:

b 2 = Q 2 π . R 2 . V n 2

b 2 = 0,009   m 3 . s - 1 2 π . 50.10 - 3   m . 3   m . s - 1

b 2 = 9,5   m m

Passo 3

Agora nosso objetivo será determinar o torque de eixo e a gente já viu que, para tratar de turbomáquinas, a equação de conservação da quantidade de movimento angular se resume à equação de Euler depois de todas as nossas suposições:

r → x F s → + ∫ V C r → × g → . ρ . d V + T → e i x o = d d t ∫ V C r → × v → . ρ . d V + ∫ S C r → × v → . ρ . v → . d A →

  • Torque das forças de atrito e pressão desprezíveis
  • Escoamento permanente e incompressível
  • Escoamento uniforme (velocidades constantes) na entrada e na saída
  • Campo gravitacional cancelado devido à simetria do volume de controle

Assim, ficamos com a equação de Euler:

T e i x o = ∫ S C r × v d m ˙

Aplicando para o nosso volume de controle, teremos:

T e i x o = V r 2 . R 2 - V r 1 . R 1 . m ˙

Como o fluido está entrando na direção do eixo do rotor, a velocidade tangencial na região onde r = R 1 é nula ( V t 1 = 0 ) e podemos reescrever a velocidades angular V r 2 em função da velocidade de rotação ω :

V r 2 = ω . R 2

Sendo assim, ficamos com:

T e i x o = ω . R 2 . R 2 - 0 . m ˙

T e i x o = ω . R 2 2 . m ˙

Com a definição de vazão mássica ( m ˙ ), temos que:

T e i x o = ω . R 2 2 . ρ . Q

Antes de utilizar o valor da velocidade de rotação, temos que converter para as unidades S.I.:

ω = 3450 r o t m i n . 2 π   r a d 1   r o t . 1   m i n 60   s

ω = 361,3   r a d . s - 1

Substituindo todos os valores informados e calculados na expressão do torque, temos que:

T e i x o = 361,3   r a d . s - 1 . 50.10 - 3   m 2 . 1000   k g . m - 3 . 0,009   m 3 . s - 1

T e i x o = 8,13   N . m

Passo 4

Agora que sabemos o valor do torque, fica fácil calcular a potência requerida ( P o t ), basta usar a definição:

W ˙ m = ω . T e i x o

Substituindo as informações que temos:

W ˙ m = 361,3   r a d . s - 1 . 8,13   N . m

W ˙ m = 2,94   k W

Resposta

b 2 = 9,5   m m

T e i x o = 8,13   N . m

W ˙ m = 2,94   k W

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