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Exercícios Resolvidos de Limite e Continuidade

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Exercício 2134567

Enunciado

Calcule lim t → 0 ⁡ F t , onde

F t =     t g   3 t t , e 2 t - 1 t , t 3

Passo 1

Repara que o que a gente tem é:

x t =   t g   3 t t

y t = e 2 t - 1 t

z t =   t 3

O que precisamos fazer é calcular

lim t → 0 ⁡ x ( t )

lim t → 0 ⁡ y ( t )

lim t → 0 ⁡ z ( t )

Passo 2

Vamos começar pelo lim t → 0 ⁡ x ( t )

lim t → 0 ⁡ x ( t ) =   lim t → 0 ⁡ t g   3 t t       = lim t → 0 ⁡ s e n 3 t t c o s 3 t  

Aqui temos uma indeterminação do tipo 0 0 . Podemos então, usar L’Hospital. Assim:

lim t → 0 ⁡ s e n 3 t t c o s 3 t = lim t → 0 ⁡ 3 c o s 3 t c o s 3 t - 3 t s e n 3 t = 3

Passo 3

Agora vamos para lim t → 0 ⁡ y ( t )

lim t → 0 ⁡ y ( t ) =   lim t → 0 ⁡ e 2 t - 1 t

De novo temos uma indeterminação do tipo 0 0 . Podemos então, usar L’Hospital:

lim t → 0 ⁡ e 2 t - 1 t = lim t → 0 ⁡ 2 e 2 t 1 = 2 = 2

Passo 4

E, por fim, vamos para lim t → 0 ⁡ z ( t )

lim t → 0 ⁡ z ( t ) =   lim t → 0 ⁡ t 3 = 0

Resposta

( 3,2 , 0 )