Exercícios Resolvidos de Lugar das Raízes

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Enunciado

Considere a função de transferência de um sistema a tempo contínuo:

G s = 1 ( s + 2 ) ( s 2 + 8 s + 16 + α )

Para os valores do parâmetro α   ∈   { 1 ;   4 } , esboce no plano complexo o lugar das raízes da equação característica 1   +   κ G ( s )   =   0 , em função do ganho κ   ∈   [ 0 ,   + ∞ ) .

Passo 1

O exercício pede para esboçar o lugar das raízes de G ( s ) , usando dois valores distintos de α : 1 e 4 . Para fazermos o que o exercício pede, usaremos duas funções do MATLAB. Primeiro, vamos usar a função t f para entrar com G ( s ) . Em seguida, usaremos r l o c u s para plotar o lugar das raízes de G ( s ) .

Faremos esse procedimento duas vezes: uma vez para α = 1 e outra vez para α = 4 .

Passo 2

O primeiro passo é definir G ( s ) no MATLAB, usando a função t f , que tem a sintaxe:

s i s t e m a = t f ( n u m e r a d o r , d e n o m i n a d o r )

A função t f tem como entrada dois vetores, o primeiro contendo os coeficientes do polinômio do numerador da função de transferência (representado por n u m e r a d o r ) e outro contendo os coeficientes do polinômio do denominador (representado por d e n o m i n a d o r ). t f retorna um objeto representando a função de transferência, que será armazenada em s i s t e m a .

Contudo, repare que o denominador de G ( s ) está fatorizado. Para definirmos G ( s ) , vamos dividi-la em duas partes, G 1   e G 2 , de forma que G s = G 1 G 2 :

G 1 = 1 s + 2

G 2 = 1 s 2 + 8 s + 16 + α

Vamos começar definindo G 1 em um script novo do MATLAB, cujo numerador é 1 e o denominador é s + 2 . Vamos criar duas variáveis contendo os coeficientes dos polinômios de G 1 . A primeira variável representará os coeficientes do polinômio do numerador e será chamada de n u m _ G 1 . A segunda variável será um vetor chamado d e n _ G 1 e terá os coeficientes do polinômio do denominador. Após criar as duas variáveis de entrada de t f , digite o comando G 1 = t f ( n u m _ G 1 ,   d e n _ G 1 ) :

Desta forma, a função de transferência G 1 é criada e armazenada na variável G 1 .

Vamos fazer a mesma coisa para G 2 , começando com α = 1 , definido por meio do comando a l p h a = 1 :

Os vetores n u m _ G 2 e d e n _ G 2 contêm os coeficientes dos polinômios do numerador e do denominador de G 2 , respectivamente. Com a função t f , cria-se a funções de transferência G 2 .

Finalmente, para definir G ( s ) , inclua em seu código o produto abaixo:

Execute o programa para ver a cara de G , com α = 1 :

Passo 3

Após definir G ( s ) para α = 1 , use a função r l o c u s para plotar o lugar das raízes. r l o c u s tem a sintaxe:

r l o c u s ( f u n c a o _ t r a n s f e r e n c i a )

A função r l o c u s tem como entrada uma função de transferência criada a partir do comando t f (no nosso caso, é a variável G ). Ao executarmos o programa, r l o c u s gera um gráfico com o lugar das raízes da função de transferência.

Adicione no seu script o comando:

Ao executar o programa, você terá o gráfico do lugar das raízes de G ( s ) , quando α = 1 :

Passo 4

Vamos fazer o mesmo procedimento para α = 4 . No seu código, troque o valor da variável a l p h a de 1 para 4 , lá onde você criour G 2 :

Desta forma, G ( s ) ficará com essa cara:

E o lugar das raízes ficará assim:

Resposta

α = 1 :

α = 4 :