Esboce o lugar geométrico das raízes para o sistema mostrado abaixo:
Passo 1
O exercício pede para traçar o lugar das raízes de . Para fazermos o que o exercício pede, usaremos duas funções do MATLAB. Primeiro, vamos usar a função para entrar com . Em seguida, usaremos para plotar o lugar das raízes de .
Lembra da função ? Ela tem como entrada dois vetores com os coeficientes dos polinômios do numerador e do denominador da função de transferência. Repare que o denominador de está fatorizado. Logo, para podermos pegar os coeficientes dele, precisamos expandi-lo (isto é, multiplicar os termos) para gerarmos o polinômio. Por isso, antes de usarmos , faremos uma manipulação algébrica com o denominador de .
Passo 2
Primeiramente, vamos obter o polinômio do denominador de , multiplicando seus termos. Vamos fazer isso no MATLAB mesmo. Em um novo script, digite as linhas de código:
Na primeira linha, criamos uma variável simbólica .
Na segunda linha, entramos com o denominador de , armazenando-o na variável .
Na terceira linha, usamos o comando do MATLAB em . Este comando multiplicará os termos de e gerará o polinômio que precisamos, armazenando-o em .
Rodando o programa, temos:
Passo 3
Agora que temos o polinômio do denominador de , podemos criar os vetores que servirão de entrada para . Lembrando que que tem como sintaxe:
A função tem como entrada dois vetores, o primeiro contendo os coeficientes do polinômio do numerador da função de transferência (representado por ) e outro contendo os coeficientes do polinômio do denominador (representado por ). retorna um objeto representando a função de transferência, que será armazenada em .
Para , o polinômio do numerador é . Já o polinômio do denominador é .
Em um novo script ou no mesmo script onde você obteve , crie duas variáveis representando os coeficientes dos polinômios, para servirem de entrada para . Como o polinômio do numerador tem somente um elemento correspondendo a , a variável representando seus coeficientes pode ser um número real. Chamaremos essa variável de e ela é igual a .
A outra variável é um vetor chamado , contendo os coeficientes de , indo do elemento com maior expoente ao de menor expoente:
Em seguida, adicione o comando abaixo para criar :
A função de transferência é armazenada na variável . Você pode ver como ficou ao rodar o programa e pedir ao MATLAB para imprimir no Command Window:
Passo 4
Após criar , usaremos a função para plotar o lugar das raízes. tem a sintaxe:
A função tem como entrada uma função de transferência criada a partir do comando (no nosso caso, é a variável ). Ao executarmos o programa, gera um gráfico com o lugar das raízes da função de trasnferência.
Adicione no seu script o comando:
Ao executar o programa, você terá o gráfico do lugar das raízes de .
Resposta
