Movimento curvilíneo

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Teoria

O movimento curvilíneo acontece em uma trajetória curva, que pode ser circular ou parabólica. No nosso dia a dia temos vários exemplos de movimento curvilíneo, como quando uma moto faz uma curva de uma estrada! Mas… como poderemos analisar esse movimento? 😖

Motos fazendo um movimento curvilíneo
Motos fazendo um movimento curvilíneo

Quando o movimento é curvo, teremos que analisar o problema de uma forma diferente. É isso que vamos aprender hoje!

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Posição e Deslocamento Vetoriais

Em um movimento curvo, é importante tratarmos de grandezas vetoriais. Isso porque neste tipo de movimento, para cada ponto da trajetória o vetor terá um módulo, uma direção e um sentido! Então imagine um carro fazendo uma curva:

Posição e Deslocamento Curvilíneos
Posição e Deslocamento Curvilíneos

Para determinarmos a posição, escolhemos um ponto de referência e traçamos um vetor deste ponto até o carro, como mostra a primeira figura. Dizemos que é a posição do carro no instante e com o passar do tempo, o carro vai adquirir outra posição . Então, a variação da posição, que chamamos de deslocamento !

Velocidade Vetorial

A velocidade média é a variação da posição dividida pelo tempo. Para o cálculo da velocidade média vetorial, a variação da posição será o nosso vetor :

é

Se tomarmos um bem pequenininho e usarmos o conceito de derivada, a velocidade passa a ser instantânea:

Quando a variação de tempo tende a zero, o vetor tende a ser tangente à curva naquele ponto. É como se estivéssemos olhando para um único ponto da curva:

vetor deslocamento tangente à trajetória curvilínea
vetor deslocamento tangente à trajetória curvilínea

Repare que a velocidade terá a mesma direção e sentido do vetor e portanto será sempre tangente à trajetória:

vetor velocidade tangente à trajetória curvilínea
vetor velocidade tangente à trajetória curvilínea

Bora continuar esse papo nesse vídeo super completo que o Responde Aí preparou pra você? 👇

Aceleração Vetorial

A aceleração mede o quanto a velocidade varia com o passar do tempo. Portanto, só existe aceleração se houver variação da velocidade. Mas e a aceleração vetorial? Vamos usar a velocidade vetorial para calcular:

é

Se fizermos ∆t tender a zero, vamos achar a aceleração instantânea que é a aceleração naquele ponto específico que estamos analisando:

A aceleração será responsável por fazer o corpo realizar o movimento curvilíneo, ou seja, é a aceleração que provoca a mudança de sentido e direção do vetor velocidade ao longo da trajetória, assim:

Mudança da trajetória
Mudança da trajetória

A aceleração sempre vai ter uma componente apontando para o centro da curva que vamos chamar de aceleração centrípeta e esta componente será responsável por mudar o sentido e a direção do vetor velocidade. O módulo da aceleração centrípeta é:

Onde, R é o raio da trajetória e v é o módulo da velocidade. E somente quando ocorrer um aumento ou diminuição da velocidade, a aceleração terá uma componente tangencial à trajetória que vamos chamar de aceleração tangencial. A aceleração tangencial é calculada por:

Movimento de um Projétil

O movimento de um projétil se da da seguinte forma:

Movimento de um projétil.
Movimento de um projétil.

Quando um projétil é lançado, ele realiza dois movimentos perpendiculares entre si e simultâneos. Para facilitar, vamos olhar para cada movimento separadamente: um na horizontal e outro na vertical. Para isso, vamos decompor o vetor velocidade:

Decomposição do movimento de um projétil
Decomposição do movimento de um projétil

Movimento na Vertical

Na vertical teremos um movimento retilíneo que sofre a ação da gravidade, logo a aceleração é constante. Se quisermos calcular a velocidade na vertical :

Já se quisermos calcular a altura do projétil, vamos usar esta fórmula:

Caso você tenha que relacionar a altura do projétil com a sua velocidade vertical, mas sem ter dado nenhum de tempo, use essa fórmula aqui:

Movimento na Vertical

Na horizontal teremos um movimento que não sofre aceleração nenhuma e, portanto, é um movimento retilíneo uniforme. Como não há aceleração, a velocidade horizontal é constante.
Se quisermos calcular a posição do projétil no eixo x, temos:

Repare que a velocidade de lançamento faz um certo ângulo θ com a horizontal:

ângulo do lançamento de um projétil
ângulo do lançamento de um projétil

Sendo assim:

Agora vamos praticar com exercícios?

Aceleração Vetorial

Movimento de um Projétil

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

No instante t = 10   s , a velocidade de uma partícula que se desloca no plano x y é v → = + 0,1 i ^ + 2 j ^   m / s . No instante t = 10,1   s , a sua velocidade torna-se - 0,1 i ^ + 1,8 j ^ . Determine o módulo a m é d de sua aceleração média durante este intervalo e o ângulo θ dado pela aceleração média com o eixo positivo x .

Passo 1

Sabendo que a aceleração média é:

a → m é d = ∆ v → ∆ t       →         a → m é d = - 0,1 i ^ + 1,8 j ^ - + 0,1 i ^ + 2 j ^ 10,1 - 10

a → m é d = - 0,2 i ^ - 0,2 j ^ 0,1       →         a → m é d = - 2 i ^ - 2 j ^   m / s 2

Passo 2

Agora vamos calcular o módulo da aceleração média:

a → m é d = ( - 2 ) 2 + ( - 2 ) 2 = 2,83   m / s 2

Passo 3

Assim, o ângulo será:

θ = tg - 1 ⁡ a y a x         →         θ = tg - 1 ⁡ - 2 - 2

θ = 225 °   o u   45 °

Como as duas componentes da aceleração são negativas, ela estará no terceiro quadrante. Então o ângulo certo é 225 ° .

Resposta

a → m é d = 2,83   m / s 2

θ = 225 °

Exercício Resolvido #2

O vetor posição de um ponto que se move no plano x y é dado por:

r = 2 3 t 3 - 3 2 t 2 i ^ + t 4 12 j ^

Onde r é expresso em metros e t é expresso em segundos. Determine o ângulo entre a velocidade v → e a aceleração a → quando a t = 2   s e b t = 3   s .

Passo 1

Vamos calcular a velocidade derivando o vetor:

v → = d r → d t = 2 t 2 - 3 t i ^ + t 3 3 j ^

E para achar a aceleração é só derivarmos de novo:

a → = d v → d t = 4 t - 3 i ^ + t 2 j ^

Passo 2

Para t = 2 s :

v → 2 = 2 ( 2 2 ) - 3 ( 2 ) i ^ + 2 3 3 j ^ = 2 i ^ + 8 3 j ^

E:

a → 2 = 4 ( 2 ) - 3 i ^ + 2 2 j ^ = 5 i ^ + 4 j ^

Para calcular o ângulo entre eles, temos que achar o módulo destes vetores:

v → = 2 2 + 8 3 2

a → = 5 2 + 4 2

Assim:

c o s θ = v → . a → v → . a → = 2 i ^ + 8 3 j ^ . 5 i ^ + 4 j ^ 2 2 + 8 3 2 5 2 + 4 2

c o s θ = 10 + 32 3 2 2 + 8 3 2 5 2 + 4 2

c o s θ = 62 3 3,33 . 6,4 = 0,97

Assim:

θ = cos - 1 ⁡ 0,97 = 14,0 7 °

Passo 3

E para t = 3   s , vamos ter que:

v → 3 = 2 ( 3 2 ) - 3 ( 3 ) i ^ + 3 3 3 j ^ = 9 i ^ + 9 j ^

E a aceleração:

a → 3 = 4 ( 3 ) - 3 i ^ + 3 2 j ^ = 9 i ^ + 9 j ^  

Opa!

Nesse caso, nem precisamos fazer contas. Perceba que os vetores tem a mesma direção, sendo assim, são paralelos. Então, o ângulo entre eles vai ser zero:

θ = 0

Resposta

a )   14,0 7 °

b ) 0 °

Exercício Resolvido #3

Uma partícula que se move em um movimento curvilíneo tem coordenadas em milímetros que variam com o tempo t em segundos de acordo com x = 3 t 2 - 4 t e y = 4 t 2 - 1 3 t 3 . Determine os módulos da velocidade v → e aceleração a → e os ângulos que estes vetores fazem com o eixo x quando t = 2   s .

Passo 1

O vetor deslocamento r → é dado por:

r → = 3 t 2 - 4 t   i ^ + ( 4 t 2 - 1 3 t 3 ) j ^

Sabendo que a velocidade é a derivada da posição no tempo, temos que:

v → = d r → d t = 6 t - 4 i ^ + 8 t - t 2 j ^

E a aceleração é a derivada da velocidade com relação ao tempo:

a → = d v → d t = 6 i ^ + ( 8 - 2 t ) j ^

Passo 2

Para t = 2   s , vamos ter que:

v → 2 = 6 ( 2 ) - 4 i ^ + 8 ( 2 ) - ( 2 ) 2 j ^

v → 2 = 12 - 4 i ^ + 16 - 2 j ^

v → 2 = 8 i ^ + 12 j ^   m m / s

E a aceleração fica:

a → ( 2 ) = 6 i ^ + 8 - 2 ( 2 ) j ^

a → 2 = 6 i ^ + 4 j ^   m m / s 2

Passo 3

O módulo do vetor velocidade vai ser:

v → 2 = 8 2 + 12 2 = 14,42   m m / s

E o módulo do vetor aceleração é:

a → 2 = 6 2 + 4 2 = 7,21   m m / s 2

Passo 4

Assim, o ângulo que o vetor velocidade faz com o eixo x é:

θ x = tg - 1 ⁡ v y v x       →         θ x = tg - 1 ⁡ 12 8

θ x = 56,3 °

Passo 5

E o ângulo que o vetor aceleração faz com o eixo x é:

θ x = tg - 1 ⁡ a y a x       →         θ x = tg - 1 ⁡ 4 6

θ x = 33,7 °

Resposta

v → = 14,42   m m / s         e             θ x = 56,3 °

a → = 7,21   m m / s 2           e             θ x = 33,7 °

Exercício Resolvido #4

Uma partícula que se desloca em movimento bidimensional tem coordenadas em milímetros dadas por x = t 2 - 4 t + 20 e y = 3   s e n   2 t , onde t é o tempo em segundos. Determine os módulos da velocidade v e a aceleração a e o ângulo θ entre estes dois vetores no instante t = 3   s .

Passo 1

O vetor deslocamento é dado por:

r → = t 2 - 4 t + 20 i ^ + 3 s e n 2 t j ^

Sabendo que a velocidade é a derivada da posição no tempo, temos que:

v → = d r → d t = 2 t - 4 i ^ + 6 cos ⁡ 2 t j ^

E a aceleração é a derivada da velocidade com relação ao tempo:

a → = d v → d t = 2 i ^ - 12 s e n 2 t j ^

Passo 2

Para t = 3 s , vamos ter que:

v → 3 = 2 ( 3 ) - 4 i ^ + 6 cos ⁡ 2 3 j ^ = 2 i ^ + 5,76 j ^

E:

a → ( 3 ) = 2 i ^ - 12 s e n 2 × 3 j ^ = 2 i ^ + 3,35 j ^

Assim:

v → 3 = 2 2 + 5,76 2 = 6,09   m m / s

E:

a → 3 = 2 2 + 3,35 2 = 3,90   m m / s 2

Passo 3

Assim, o ângulo será:

c o s θ = v → 3 . a → 3 a → 3 . v → 3 = 2 i ^ + 5,76 j ^ . 2 i ^ + 3,35 j ^ 3,90 . 6,09

c o s θ = 4 + 19,30 23,75 = 0,98

Assim:

θ = cos - 1 ⁡ 0,98 = 11,18 °

Observação:

Quando você for calcular o valor de s e n ( 2 t ) , o valor que 2 t estará em radianos. Mas perceba que no final, quando usamos a função c o s - 1 , retornamos um valor em graus. Enfim, são apenas ajustes na calculadora!

Resposta

v → 3 = 6,09   m m / s

a → 3 = 3,90   m m / s 2

θ = 11,18 °

Exercício Resolvido #5

Os movimentos x e y das guias A e B com ranhuras em ângulo reto controlam o movimento curvilíneo do pino P de conexão, que desliza nas duas ranhuras. Por um curto intervalo de tempo, os movimentos são regidos por x = 20 + 1 4 t 2 y = 15 - 1 6 t 3 , onde x e y são em milímetros e t é em segundos. Calcule o módulo da velocidade v → e aceleração a → do pino para t = 2   s . Desenhe a direção da trajetória e indique a sua curvatura para esse instante.

Passo 1

O vetor deslocamento é dado por:

r → = 20 + 1 4 t 2 i ^ + 15 - 1 6 t 3 j ^

Sabendo que a velocidade é a derivada da posição no tempo, temos que:

v → = d r → d t = 1 2 t i ^ - 1 2 t 2 j ^

E a aceleração é a derivada da velocidade com relação ao tempo:

a → = d v → d t = 1 2 i ^ - t j ^

Passo 2

Para t = 2   s , vamos ter que a velocidade será de:

v → 2 = 1 2 2 i ^ - 1 2 2 2 j ^ = i ^ - 2 j ^   m m / s

E a aceleração vai ser igual a:

a → 2 = 1 2 i ^ - 2 j ^ = 1 2 i ^ - 2 j ^   m m / s 2

Passo 3

Com isso, podemos calcular o módulo da velocidade:

v → = 1 2 + ( - 2 ) 2 = 2,24   m m / s

E:

a → = 1 2 2 + ( - 2 ) 2 = 2,06   m m / s 2

Passo 4

Então, o nosso desenho vai ficar assim:

Resposta

v → = 2,24   m m / s

a → = 2,06   m m / s 2

D e s e n h o   a c i m a

Exercício Resolvido #6

Se o cano da espingarda mostrada aponta para o ponto A , calcule a distância δ abaixo de A até o ponto B onde a bala incide. A velocidade de saída no disparo da bala é de 600   m / s .

Passo 1

Para resolver essa questão, precisamos utilizar a fórmula do lançamento horizontal. Como o que interessa para nós é a altura, vamos usar a fórmula da altura do projétil.

y = v 0 y t - g t 2 2

O tempo, nós podemos pegar da fórmula da velocidade horizontal do projétil:

x = v 0 x × t

Logo:

t = x v 0 x

Substituindo na fórmula da parcela vertical:

y = v 0 y x v x - g x 2 2 v 0 x 2

Além disso, precisamos lembrar que:

v o y = v × s e n θ

v 0 x = v × cos ⁡ θ

Substituindo na nossa fórmula:

y = x v × s e n θ v × cos ⁡ θ - g x 2 2 v 2 × cos 2 ⁡ θ

Ou seja:

y = x t g θ - g x 2 2 v 2 sec 2 ⁡ θ

Passo 2

Pelo triângulo acima, podemos dizer que:

y + δ = x t g θ

Passo 3

Então, vamos pegar a nossa fórmula para y que encontramos no passo 1 e adicionar δ dos dois lados da igualdade:

x t g θ - g x 2 2 v 2 sec 2 ⁡ θ + δ = y + δ

x t g θ - g x 2 2 v 2 sec 2 ⁡ θ + δ = x t g θ

δ = x t g θ - x t g θ - g x 2 2 v 2 sec 2 ⁡ θ

Substituindo os valores do enunciado:

δ = 10 1000 2 2 ( 600 2 ) sec 2 ⁡ 20 ° = 15.43 m

Resposta

δ = 15.43 m

Exercício Resolvido #7

O jogador de basquete gosta de arremessar seu lance livre em um ângulo θ = 50 ° com a horizontal como mostrado. Que velocidade inicial v 0 fará com que a bola passe através do centro do aro?

Passo 1

Nós não sabemos quanto vale v 0 . Então vamos escrever tudo em função de v 0 . Assim, a componente x do movimento será:

x = x 0 + v 0 tcos ⁡ θ

x = x 0 + v 0 t c o s ⁡ ( 50 ° )

Sendo x 0 = 0 :

x t = v 0 t c o s ⁡ ( 50 ° )

Vamos calcular agora o tempo que o móvel leva pra alcançar a distância horizontal de 4   m :

4 = v 0 cos ⁡ 50 ° t t       →       t t = 4 v 0 c o s 50 °

Guarde esse tempo, pois esse é o tempo que a bola leva voando.

Passo 2

Agora vamos usar o deslocamento vertical. A bola sai da coordenada y 0 = 2,1 e atinge a coordenada y = 3   m .

Assim, podemos dizer que:

y t = y 0 + v 0 s e n 50 ° t - 1 2 g t 2

Para o tempo t t :

3 = 2,1 + v 0 s e n 50 ° 4 v 0 c o s 50 ° - 1 2 ( 9,81 ) 4 v 0 c o s 50 ° 2

Organizando:

v 0 s e n 50 ° 4 v 0 c o s 50 ° - 1 2 ( 9,81 ) 4 v 0 c o s 50 ° 2 - 0,9 = 0

4 t g 50 ° - 4,91 16 v 0 2 cos 2 ⁡ 50 ° - 0,9 = 0

4,91 16 v 0 2 cos 2 ⁡ 50 ° = 4 t g 50 ° - 0,9

4,91 16 v 0 2 cos 2 ⁡ 50 ° = 3,9

Passo 3

Assim:

4,91 16 v 0 2 cos 2 ⁡ 50 ° = 3,9

v 0 2 cos 2 ⁡ 50 ° = 78,48 3,9

v 0 2 = 78,48 3,9 cos 2 ⁡ ( 50 ° )

v 0 = 78,48 3,9 cos 2 ⁡ 50 ° = 1 cos ⁡ 50 ° 78,48 3,9 = 6,98   m / s

Resposta

v 0 = 6,98   m / s

Exercício Resolvido #8

Um projétil é lançado em um fluido experimental no instante t = 0 . A velocidade inicial é v 0 e o ângulo com a horizontal é θ . O arrasto sobre o projétil resulta em um termo de aceleração a D = - k v → , onde k é a constante e v → é a velocidade do projétil. Determine as componentes x e y da velocidade e do deslocamento como funções do tempo. Qual é a velocidade final? Inclua os efeitos da aceleração gravitacional.

Passo 1

Considerando a aceleração da gravidade, temos a seguinte aceleração total:

a → = - k v → - g j ^ = a x i ^ + a y j ^

Onde:

v → = v x i ^ + v y j ^

Assim:

a → = - k v x i ^ + v y j ^ - g j ^

a → = - k v x i ^ + j ^ ( - k v y - g )

Passo 2

a → = - k v x i ^ + j ^ ( - k v y - g )

Assim:

- k v x i ^ + j ^ - k v y - g = a x i ^ + a y j ^

Só que:

a x = d v x d t

Assim:

d v x d t = - k v x → d v x v x = - k d t → ∫ d v x v x = ∫ - k d t

ln ⁡ v x = - k t → v x = v x 0 e - k t

Só que:

v x 0 = v 0 c o s θ

Assim:

v x = v 0 c o s θ e - k t

E:

d x t d t = v 0 c o s θ e - k t → x t = ∫ v 0 c o s θ e - k t = v 0 c o s θ k 1 - e - k t

Passo 3

Em y :

a y = d v y d t = - k v y - g

∴  

∫ d v y - k v y - g = ∫ d t

v y = v y 0 + g k e - k t - g k = v 0 s e n θ + g k e - k t - g k

Assim:

d y d t = v 0 s e n θ + g k e - k t - g k → y t = ∫ v 0 s e n θ + g k e - k t - g k

y t = 1 k v 0 s e n θ + g k 1 - e - k t - g k t

Passo 4

Com as componentes da velocidade:

v x = v 0 c o s θ e - k t

v y = v 0 s e n θ + g k e - k t - g k

Vamos calcular a velocidade terminal do móvel, para t tendendo a infinito:

v x → 0

v y → - g k

v → T e r m i n a l = - g k j ^

Resposta

v x = v 0 c o s θ e - k t

v y = v 0 s e n θ + g k e - k t - g k

x t = v 0 c o s θ k 1 - e - k t

y t = 1 k v 0 s e n θ + g k 1 - e - k t - g k t

v → T e r m i n a l = - g k j ^

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