Movimento Retilíneo

Bom, como vimos, a derivada da posição pelo tempo é a velocidade:

E a aceleração é a derivada da velocidade, também pelo tempo (ou segunda derivada da posição):

Galera, vamos construir os gráficos aqui. Acho legal começarmos pelo gráfico da aceleração, que é uma reta:

Sendo uma reta a gente precisa apenas de dois pontos para traçar o gráfico, vamos fazer então e . Dessa forma, a gente acha os seguintes pontos:

E

Então achamos os dois pontos :

Assim podemos traçar o gráfico:

Agora vamos fazer o gráfico da velocidade, que é uma parábola:

Para uma parábola nós precisamos de três pontos para desenhar o gráfico. Sendo assim, vamos encontrar as duas raízes e o ponto onde a função corta o eixo .

Começando pelo ponto onde a função corta o eixo vamos ter:

Logo, temos o ponto . Agora partiu para as raízes:

Portanto, temos os pontos e . Então o gráfico da velocidade fica desta forma:

E podemos fazer o gráfico do deslocamento também. Pessoal, esse gráfico já um pouco mais chato e precisa de 4 pontos para ser produzido. Então vou colocar o gráfico aqui e vamos apenas fazer algumas análises:

A primeira derivada (que é a velocidade) nos fornece os máximos e mínimos locais quando se iguala a zero. Dá pra ver pelo gráfico que são os mesmos valores de :

Além disso, temos também os pontos de inflexão que são dados pela segunda derivada (que é a aceleração), perceba que o ponto também tem o mesmo valor de :

Maneiro né!?

O instante em que a velocidade é nula nós já temos, que foi calculado no passo 3 e valem:

Temos que a equação da velocidade é:

Então, quando o tempo for de , a velocidade da partícula será:

Derivando a equação da velocidade com relação ao tempo vamos obter a equação da aceleração, então:

Então, no tempo , a aceleração vai ser igual a:

Agora vamos calcular a posição, mas para isso temos que lembrar que a derivada da equação da posição com relação ao tempo nos dá a equação da velocidade:

Passando o para o outro lado do sinal de igual, temos que:

Agora é só integrarmos de ambos os lados:

Então, quando o tempo for de , a posição da partícula será:

Vamos usar a expressão:

Mas perceba que é a área sob a curva, então com essa expressão e calculando a área sob a curva, vamos obter .

Antes de partirmos para a ação, perceba que . No entanto, é conveniente que trabalhemos em , já que a unidade da aceleração é .

Para converter, é só dividir por

Vamos calcular a velocidade em . Para isso, basta a gente calcular a área sob a curva e jogar na fórmula junto de

Perceba que essa área pode ser dividida em um retângulo até e um paralelogramo dali para frente:

Assim:

Multiplicando por

A aceleração é dada por:

Sendo que:

Assim:

Depois que fizemos a separação das variáveis, precisamos integrar os dois lados da equação obtida.

Para isso, vamos integrar a equação do tempo de até e a equação da velocidade de até (afinal de contas, a velocidade em pode ser diferente de Assim:

Elevando os dois lados ao quadrado:

Pelo enunciado, em , Além disso,

Temos que:

E a equação da velocidade em função do espaço?

Basta lembrar que:

Já que:

E:

E:

Voltando, podemos escrever:

Integrando os dois lados:

Pelo enunciado,

Agora vamos avaliar o valor da velocidade em e :

E:

Para descobrir a altura , vamos usar nossa famosa fórmula de Torriceli:

No nosso caso:

E:

Lembrando que primeiro estamos calculando a altura em relação à ponta do penhasco. O nosso eixo aponta para cima, por isso o valor negativo da gravidade (que aponta para baixo).

E velocidade é nula por quê? Porque quando o objeto atinge a altura máxima, a velocidade se anula.

Bom, mãos à obra:

E qual o tempo que ele leva para alcançar essa altura? Basta a gente usar a equação da velocidade: o tempo de subida nada mais é do que o tempo que se passa até que a velocidade se anule. Assim:

Assim, no fim teremos

Opa, antes de mais nada, perceba que agora colocamos o eixo apontando para baixo. Podemos fazer isso? Podemos e é conveniente fazer.

Agora queremos calcular o tempo que o móvel leva para percorrer toda essa distância de , partindo do repouso, do alto da altura

Assim:

Considerando que ele parte da origem e com velocidade nula:

Onde

Esse é nosso tempo de descida. Assim, o tempo total será:

Como temos informações sobre a velocidade e a aceleração e queremos saber a distância, vamos usar uma equação que relacione essas grandezas:

A velocidade inicial é zero, pois a aeronave estava parada e a aceleração é:

E a velocidade final é a velocidade de decolagem. Mas temos que passar esta velocidade para :

Então, a distância até a decolagem é de:

Para calcular o tempo, vamos usar a seguinte equação:

Então, vamos ter que:

Vamos começar passando as velocidades para e para isso é só dividir por :

E:

Como queremos determinar a aceleração, temos que achar uma equação que relacione as velocidades e a distância que foram dadas com a aceleração que queremos saber:

Vamos usar:

Sendo que

Vamos integrar de até e de até :

Vamos olhar pra integral da velocidade:

Vamos usar a substituição de variáveis:

Assim:

Lembre-se que integral de é . Ou seja, por isso que tudo vai ficar positivo:

Assim:

O enunciado nos diz qual é a distância que o carro percorre até parar. Sendo assim, teremos que usar , ou seja, a velocidade final igual a

No caso, a distância , que á distância percorrida:

Então: