Movimento Retilíneo

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Teoria

O Movimento retilíneo, como o próprio nome indica, é aquele que acontece em trajetória reta, como o movimento de um carro em linha reta. Ele pode ser tanto um movimento vertical, como horizontal que é o que vamos focar aqui!

Pra começarmos com tudo, se liga nesse vídeozinho super completo que o Responde Aí preparou pra você sobre Movimento Retilíneo na Dinâmica 👇

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Posição e Deslocamento

Imagine um carro andando em uma estrada... Para localizarmos esse carro vamos usar o que chamamos de posição que nada mais é do que a distância do carro até um ponto de referência:

Posição Inicial e Posição Final
Posição Inicial e Posição Final

Repare que no primeiro instante de tempo o nosso carrinho tem uma posição . Com o passar do tempo, o carro vai estar em outra posição. A variação da posição do carro conforme o tempo passa nós vamos chamar de deslocamento :

Deslocamento
Deslocamento

Sempre que analisarmos a posição de qualquer coisa, após escolhermos um ponto de referência, temos que escolher um sentido para ser positivo e outro para ser negativo. Dessa maneira, o deslocamento será positivo se o objeto andar no sentido positivo e será negativo se ele andar no sentido negativo que escolhemos.

Velocidade

Se eu falar para você que ontem eu dirigi a uma velocidade de , o que isto quer dizer na prática? Para responder esta pergunta temos que entender o conceito de velocidade.


Chamamos de velocidade média a razão entre o deslocamento e intervalo de tempo no qual esse deslocamento ocorreu, ou seja, o quanto eu percorri com meu carro em um determinado intervalo de tempo:

Mas e se eu quiser saber a minha velocidade exatamente em uma posição? Para isso, vamos usar o conceito de velocidade instantânea que é quando assume valores bem pequenos, que tendem a zero.

A velocidade instantânea é obtida a partir da derivada da posição em relação ao tempo. Se observarmos o gráfico de deslocamento versus tempo, percebemos que a derivada é igual a inclinação da reta tangente à curva em um instante

Gráfico da velocidade: Deslocamento x Tempo
Gráfico da velocidade: Deslocamento x Tempo

Aceleração

Vamos chamar de aceleração média o quanto a velocidade de um corpo variou dentro de um intervalo de tempo:

Podemos calcular a aceleração instantânea também, para isso derivamos a velocidade em relação ao tempo:

A aceleração é positiva se a velocidade estiver aumentando e será negativa se a velocidade estiver diminuindo. Quando a velocidade está diminuindo falamos que o corpo está desacelerando.

Gráficos

Aqui no movimento retilíneo, é muito importante saber interpretar e tirar as informações importantes dos gráficos aqui no Movimento Retilíneo! Então bora começar com o gráfico de velocidade?!

No gráfico da velocidade em função do tempo, temos que a área embaixo da curva é igual ao deslocamento . Saca só:

Gráfico de velocidade: Área sob a curva
Gráfico de velocidade: Área sob a curva

Pra a gente conseguir calcular essa área vamos precisar usar as integrais! Primeiro pegamos a fórmula da velocidade e isolamos o :

E integramos dos dois lados:

Agora é só resolver a integral e como resultado você terá o deslocamento!

Outro gráfico importante é o de aceleração, dessa vez a sua área embaixo da curva vai nos dar a velocidade média.

Gráfico da aceleração: Área sob a curva
Gráfico da aceleração: Área sob a curva

Achamos a velocidade integrando a fórmula de velocidade instantânea, assim como fizemos ali em cima:

Pra achar a velocidade é só integrar e correr pro abraço!

Fórmulas do Movimento Retilíneo

Pra encerrar com chave de ouro, bora ver um resuminho das fórmulas do Movimento Retilíneo?!

Movimento Retilíneo Uniforme (MRU)

  • Velocidade média:
  • Velocidade Instantânea:

Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV)

  • Aceleração Média:
  • Aceleração Instantânea:
  • Função horária da velocidade:
  • Função horária da posição:
  • Equação de Torricelli:

Bora praticar com exercícios?!

Velocidade

Aceleração

Gráficos

Fórmulas do Movimento Retilíneo

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

A posição de uma partícula é dada por s = 2 t 3 - 40 t 2 + 200 t - 50 , onde s é em metros e t é em segundos. Represente graficamente a posição, velocidade, e aceleração como funções do tempo para os primeiros 12   segundos de movimento. Determine o instante em que a velocidade é zero.

Passo 1

Bom, como vimos, a derivada da posição pelo tempo é a velocidade:

v t = d s t d t = 6 t 2 - 80 t + 200

E a aceleração é a derivada da velocidade, também pelo tempo (ou segunda derivada da posição):

a t = d v t d t = d 2 s t d t 2 = 12 t - 80

Passo 2

Galera, vamos construir os gráficos aqui. Acho legal começarmos pelo gráfico da aceleração, que é uma reta:

a t = 12 t - 80

Sendo uma reta a gente precisa apenas de dois pontos para traçar o gráfico, vamos fazer então t = 0 e a = 0 . Dessa forma, a gente acha os seguintes pontos:

a = 12 0 - 80

a = - 80

E

0 = 12 t - 80

t = 6,67   s

Então achamos os dois pontos ( t , a ) :

0   ;   - 80   e   ( 6,67   ; 0 )

Assim podemos traçar o gráfico:

Passo 3

Agora vamos fazer o gráfico da velocidade, que é uma parábola:

v t = 6 t 2 - 80 t + 200

Para uma parábola nós precisamos de três pontos para desenhar o gráfico. Sendo assim, vamos encontrar as duas raízes e o ponto onde a função corta o eixo y .

Começando pelo ponto onde a função corta o eixo y vamos ter:

v t = 6 ( 0 ) 2 - 80 ( 0 ) + 200

v = 200

Logo, temos o ponto ( 0   ;   200 ) . Agora partiu para as raízes:

t = 80 ± ( - 80 ) 2 - 4 ( 6 ) ( 200 ) 2 ( 6 )

t = 80 ± 40 1 2

t = 10   s   o u   t = 3,33   s

Portanto, temos os pontos ( 10   ; 0 ) e ( 3,33   ; 0 ) . Então o gráfico da velocidade fica desta forma:

Passo 4

E podemos fazer o gráfico do deslocamento também. Pessoal, esse gráfico já um pouco mais chato e precisa de 4 pontos para ser produzido. Então vou colocar o gráfico aqui e vamos apenas fazer algumas análises:

A primeira derivada (que é a velocidade) nos fornece os máximos e mínimos locais quando se iguala a zero. Dá pra ver pelo gráfico que são os mesmos valores de t :

t 1 = 3,33   s

t 2 = 10   s

Além disso, temos também os pontos de inflexão que são dados pela segunda derivada (que é a aceleração), perceba que o ponto também tem o mesmo valor de t :

t = 6,67   s

Maneiro né!?

Passo 5

O instante em que a velocidade é nula nós já temos, que foi calculado no passo 3 e valem:

t = 10   s   o u   t = 3,33   s

Resposta

s t :

v t :

a t :

E:

t 1 = 10 s   e   t 2 = 3,33 s

Exercício Resolvido #2

A velocidade de uma partícula que se desloca ao longo do eixo s é dada por v = 2 - 4 t + 5 t 3 / 2 , onde t é em segundos e v é em metros por segundo. Calcule a posição s , a velocidade v , e a aceleração a quando t = 3   s . A partícula está na posição s 0 = 3   m quando t = 0 .

Passo 1

Temos que a equação da velocidade é:

v = 2 - 4 t + 5 t 3 / 2

Então, quando o tempo for de 3   s , a velocidade da partícula será:

v = 2 - 4 ( 3 ) + 5 ( 3 ) 3 / 2

v = 15,98   m / s

Passo 2

Derivando a equação da velocidade com relação ao tempo vamos obter a equação da aceleração, então:

a = d v d t = - 4 + 15 2 t 1 / 2

Então, no tempo t = 3   s , a aceleração vai ser igual a:

a = - 4 + 15 2 ( 3 ) 1 / 2

a = - 4 + 15 2 3

a = 8,99   m / s 2

Passo 3

Agora vamos calcular a posição, mas para isso temos que lembrar que a derivada da equação da posição com relação ao tempo nos dá a equação da velocidade:

v = d s d t ∴

d s d t = 2 - 4 t + 5 t 3 / 2

Passando o d t para o outro lado do sinal de igual, temos que:

d s = ( 2 - 4 t + 5 t 3 / 2 ) d t

Agora é só integrarmos de ambos os lados:

∫ s 0 = 3 s d s = ∫ 0 t ( 2 - 4 t + 5 t 3 / 2 ) d t

s | s 3 = 2 t - 4 2 t 2 + 2 5 5 t 5 / 2 t 0

s | s 3 = 2 t - 2 t 2 + 2 t 5 / 2 t 0

s - 3 = 2 t - 2 t 2 + 2 t 5 / 2

s = 3 + 2 t - 2 t 2 + 2 t 5 / 2

Então, quando o tempo for de 3   s , a posição da partícula será:

s = 3 + 2 ( 3 ) - 2 ( 3 ) 2 + 2 ( 3 ) 5 / 2

s = 22,2   m

Resposta

s = 22,2   m

v = 15,98   m / s

a = 8,99   m / s 2

Exercício Resolvido #3

Um veículo entra em uma seção de teste de uma estrada reta em s = 0 com uma velocidade de 40   k m / h . Em seguida sofre uma aceleração que varia com o deslocamento como mostrado na figura. Determine a velocidade v do veículo quando este passa pela posição s = 0,2   k m .

Passo 1

Vamos usar a expressão:

a = v d v d s

v d v = a d s

∫ v 0 v v d v = ∫ s 0 s a d s

v 2 - v 0 2 2 = ∫ s 0 s a d s

Mas perceba que ∫ s 0 s a d s é a área sob a curva, então com essa expressão e calculando a área sob a curva, vamos obter v .

Passo 2

Antes de partirmos para a ação, perceba que v 0 = 40   k m / h . No entanto, é conveniente que trabalhemos em m / s , já que a unidade da aceleração é m / s 2 .

Para converter, é só dividir por 3,6 :

v 0 = 40 3,6 = 11,1   m / s

Vamos calcular a velocidade em s = 2   k m = 2000   m . Para isso, basta a gente calcular a área sob a curva e jogar na fórmula junto de v 0 :

v 2 - 11,1 2 = 2 ∫ s 0 s a d s

Perceba que essa área pode ser dividida em um retângulo até 0,8   k m e um paralelogramo dali para frente:

∫ s 0 s a d s = A 1 + A 2 = 0,8 100 + 1 2 0,8 + 0,4 200 - 100

∫ s 0 s a d s = 80 + 0,6 100 = 80 + 60 = 140

Assim:

v 2 - 11,1 2 = 2 140     →     v 2 = 403 , 21

v = 20 , 0 8   m / s

Multiplicando por 3,6 :

v = 20 , 0 8 3,6 = 72,3   k m / h

Resposta

v = 20 , 0 8   m / s = 72,3   k m / h

Exercício Resolvido #4

A aceleração de uma partícula que está se movendo ao longo de uma linha reta é dada por a = - k v , onde a é em metros por segundo ao quadrado, k é uma constante, e v é a velocidade em metros por segundo. Determine a velocidade como função tanto do tempo t como da posição s . Avalie suas expressões para t = 2   s e em s = 3   m se k = 0,2   m 1 / 2 s - 3 / 2 e as condições iniciais no instante t = 0 são s 0 = 1   m e v 0 = 7   m / s .

Passo 1

A aceleração é dada por:

a = - k v 1 2

Sendo que:

a = d v d t

Assim:

d v d t = - k v 1 2

d v v 1 2 = - k d t

Passo 2

Depois que fizemos a separação das variáveis, precisamos integrar os dois lados da equação obtida.

Para isso, vamos integrar a equação do tempo de t = 0 até t e a equação da velocidade de v 0 até v (afinal de contas, a velocidade em t = 0 pode ser diferente de 0 ) . Assim:

∫ 0 t - k d t = ∫ v 0 v d v v 1 2

- k t = v 1 2 1 2 v 0 v

- k t = v 1 2 - v 0 1 2 2

v 1 2 = v 0 1 2 - k t 2

Elevando os dois lados ao quadrado:

v t = v 0 1 2 - k t 2 2

Pelo enunciado, em t = 0 , v = v 0 = 7   m / s .   Além disso, k = 0,2   m 1 2 s - 3 2 :

v t = 7 1 2 - 0,2 t 2 2 = 7 1 2 - 0,1 t 2

Temos que:

v t = 7 1 2 2 - 2 . 0,1 t 7 1 2 + - 0,1 t 2

v t = 7 - 0,2 . 7 1 2 t + 0,01 t 2

v t = 0,01 t 2 - 0,529 t + 7

Passo 3

E a equação da velocidade em função do espaço?

Basta lembrar que:

a = v d v d s

Já que:

a = d v d t

E:

v = d s d t

E:

v d v d s = d s d t d v d s = d v d t = a

Voltando, podemos escrever:

- k v 1 2 = v d v d s

- k d s = v 1 2 d v

Integrando os dois lados:

∫ s 0 s - k d s = ∫ v 0 v v 1 2 d v  

- k s - s 0 = 2 3 v 3 2 - v 0 3 2

v 3 2 = v 0 3 2 - 3 2 k s - s 0

v s = v 0 3 2 - 3 2 k s - s 0 2 3

Pelo enunciado, s 0 = 1 m :

v s = 7 3 2 - 3 2 0,2 s - 1 2 3

v s = v 0 3 2 - 0,3 s - 1 2 3

Passo 4

Agora vamos avaliar o valor da velocidade em t = 2   s e s = 3   s :

v t = 0,01 t 2 - 0,529 t + 7

v 2 = 0,01 2 2 - 0,529 2 + 7 = 5,982 m / s

E:

v s = 7 3 2 - 0,3 3 - 1 2 3 = 6,85 m / s

Resposta

v t = v 0 1 2 - k t 2 2

v s = v 0 3 2 - 3 2 k s - s 0 2 3

v 2 = 5,98   m / s

v 3 = 6,85   m / s

Exercício Resolvido #5

Uma bola é lançada verticalmente para cima com uma velocidade de 30   m / s na borda de um penhasco com 60   m . Calcule a altura h para a qual a bola se eleva e o tempo total t após a liberação para a bola alcançar o fundo do penhasco. Despreze a resistência do ar e considere a aceleração para baixo como 9,81   m / s 2 .

Passo 1

Para descobrir a altura h , vamos usar nossa famosa fórmula de Torriceli:

v 2 = v 0 2 + 2 a ∆ S

No nosso caso:

a = - 9,81 m / s 2

v = 0

v 0 = 30 m / s

E:

v = 0

∆ S = h

Lembrando que primeiro estamos calculando a altura h em relação à ponta do penhasco. O nosso eixo y aponta para cima, por isso o valor negativo da gravidade (que aponta para baixo).

E velocidade v é nula por quê? Porque quando o objeto atinge a altura máxima, a velocidade se anula.

Bom, mãos à obra:

0 2 = 30 2 - 2 9,81 h     →       h = 30 2 2 9,81

h = 45,87   m

E qual o tempo que ele leva para alcançar essa altura? Basta a gente usar a equação da velocidade: o tempo de subida nada mais é do que o tempo que se passa até que a velocidade se anule. Assim:

v = v 0 + a t

Assim, no fim teremos v = 0 :

0 = 30 - 9,81 t s → t s = 3,05   s

Passo 2

Opa, antes de mais nada, perceba que agora colocamos o eixo y apontando para baixo. Podemos fazer isso? Podemos e é conveniente fazer.

Agora queremos calcular o tempo que o móvel leva para percorrer toda essa distância de 105,87   m , partindo do repouso, do alto da altura h .

Assim:

S = S 0 + v 0 t + 1 2 a t 2

Considerando que ele parte da origem e com velocidade nula:

S = 1 2 9,81 t 2

Onde S = 105,87   m :

105,87 = 1 2 9,81 t d 2 → t d = 2.105,87 9,81

t d = 4,64 s

Esse é nosso tempo de descida. Assim, o tempo total será:

t t = t s + t d = 3,05 + 4,64

t t = 7,69   s

Resposta

h = 45,87   m

t t = 7,69   s

Exercício Resolvido #6

O piloto de um avião de transporte a jato leva os motores a plena potência de decolagem antes de liberar os freios enquanto a aeronave está parada sobre a pista. O empuxo do jato permanece constante, e a aeronave tem uma aceleração quase constante de 0,4 g . Se a velocidade de decolagem é 200   k m / h , calcule a distância s e o tempo t do repouso até a decolagem.

Passo 1

Como temos informações sobre a velocidade e a aceleração e queremos saber a distância, vamos usar uma equação que relacione essas grandezas:

v 2 = v 0 2 + 2 a ( s - s 0 )

A velocidade inicial é zero, pois a aeronave estava parada e a aceleração é:

a = 0 , 4 g       →         a = 0 , 4 ( 9,81 )

a = 3,924   m / s 2

E a velocidade final é a velocidade de decolagem. Mas temos que passar esta velocidade para m / s :

200 k m h = 200 3,6 = 55,56   m / s

Então, a distância até a decolagem é de:

v 2 = v 0 2 + 2 a s - s 0     →         ( 55,56 ) 2 = 0 + 2 ( 3,924 ) ( s )

s = 393   m

Passo 2

Para calcular o tempo, vamos usar a seguinte equação:

v = v 0 + a t

Então, vamos ter que:

v = v 0 + a t       →       55,56 = 0 + 3,924 t

t = 14,16   s

Resposta

s = 393   m

t = 14,16   s

Exercício Resolvido #7

Um avião a jato com uma velocidade de pouso de 200   k m / h tem um máximo de 600   m de pista disponível após tocar o solo no qual deve reduzir sua velocidade para 30   k m / h . Calcule a aceleração média a requerida da aeronave durante a frenagem.

Passo 1

Vamos começar passando as velocidades para m / s e para isso é só dividir por 3,6 :

200   k m / h = 200 3,6 = 55,56   m / s

E:

3 0   k m / h = 3 0 3,6 = 8,33   m / s

Passo 2

Como queremos determinar a aceleração, temos que achar uma equação que relacione as velocidades e a distância que foram dadas com a aceleração que queremos saber:

∫ v d v = ∫ a d s       →       ∫ 55,56 8,33 v d v = ∫ 0 600 a d s

v 2 2 | 8,33 55,56   = a s | 600 0        

( 8,33 ) 2 - ( 55,56 ) 2 2 = a ( 600 - 0 )

- 1508,76 = a ( 600 )

a = - 2,51   m / s 2

Resposta

a = - 2,51   m / s 2

Exercício Resolvido #8

A resistência aerodinâmica ao movimento de um carro é aproximadamente proporcional ao quadrado da sua velocidade. A resistência adicional ao atrito é constante, de modo que a aceleração do carro quando em ponto morto pode ser escrita a = - C 1 - C 2 v 2 , onde C 1 e C 2 são constantes que dependem da configuração mecânica do carro. Se o carro tem uma velocidade inicial v 0 quando o motor é desengrenado, derive uma expressão para a distância D necessária para o carro mover-se em ponto morto até parar.

Passo 1

Vamos usar:

v d v d s = a

v d v a = d s

Sendo que a = - C 1 + C 2 v 2 :

v d v - C 1 - C 2 v 2 = d s

Vamos integrar de v 0 até v e de s 0 até s :

∫ v 0 v v d v - C 1 - C 2 v 2 = ∫ s 0 s d s

Vamos olhar pra integral da velocidade:

∫ v 0 v v d v - C 1 - C 2 v 2

Vamos usar a substituição de variáveis:

a = - C 1 - C 2 v 2 → d a = - 2 C 2 v d v → v d v = d a - 2 C 2

Assim:

∫ v d v - C 1 - C 2 v 2 = ∫ - d a 2 C 2 a = - 1 2 C 2 ∫ d a a  

- 1 2 C 2 ∫ d a a = - 1 2 C 2 ln ⁡ - C 1 - C 2 v 2 v 0 v

Lembre-se que integral de 1 x é l n ⁡ | x | . Ou seja, por isso que tudo vai ficar positivo:

- 1 2 C 2 ln ⁡ C 1 + C 2 v 2 v 0 v = - 1 2 C 2 ( ln ⁡ C 1 + C 2 v 2 - ln ⁡ ( C 1 + C 2 v 0 2 ) )

- 1 2 C 2 ( ln ⁡ C 1 + C 2 v 2 - ln ⁡ ( C 1 + C 2 v 0 2 ) ) = 1 2 C 2 ln ⁡ C 1 + C 2 v 0 2 C 1 + C 2 v 2

Assim:

1 2 C 2 ln ⁡ C 1 + C 2 v 0 2 C 1 + C 2 v 2 = ∫ s 0 s d s

1 2 C 2 ln ⁡ C 1 + C 2 v 0 2 C 1 + C 2 v 2 = S - S 0

Passo 2

O enunciado nos diz qual é a distância que o carro percorre até parar. Sendo assim, teremos que usar v = 0 , ou seja, a velocidade final igual a 0 .

No caso, a distância S - S 0 = D , que á distância percorrida:

S - S 0 = D = 1 2 C 2 ln ⁡ C 1 + C 2 v 0 2 C 1 + C 2 0 2 = 1 2 C 2 ln ⁡ C 1 + C 2 v 0 2 C 1 = 1 2 C 2 ln ⁡ 1 + C 2 C 1 v 0 2

Então:

D = 1 2 C 2 ln ⁡ 1 + C 2 C 1 v 0 2

Resposta

D = 1 2 C 2 ln ⁡ 1 + C 2 C 1 v 0 2

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